2017年大连海洋大学水产715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明
：
【答案】
2． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量
【答案】记
则
所以
另一方面，
这就证明了
, 且X 与Y 独立, 对一切的
存在，
3 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布
4． （伯恩斯坦大数定律）设
证明:
【答案】
记
所以
的特征函数, 由唯一性定理知
.
时,
一致地有
时,
有
是方差一致有界的随机变量序列, 且当
任
对
存在M>0,
当
服从大数定律.
由的任意性知
所以由马尔可夫大数定律知
5． 设不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
即
将（*）式两端对求导，并注意到
有
这说明
由此可以得到则
从而，
为的UMVUE.
服从大数定律.
求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它
我们将（**）式的两端再对H 求导，得
记
进一步，C-R 下界为故此UMVUE 的方差达不到C-R
不等式的下界.
6． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.
【答案】设总体玛分布
，其密度函数为
则的后验分布为
，其中已知，
为其样本，取
的先验分布为倒伽
即
值已知）的共轭先验分布.
7． 设是来自
若检验由拒绝域为
这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均
的样本，考虑如下假设检验问题
确定.
，n 最小应取多少？
（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明：当
时，
【答案】（1）由定义知，犯第一类错误的概率为
这是因为在成立下，
而犯第二类错误的概率为
这是因为在成立下.
.
（2）若使犯第二类错误的概率满足