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一、证明题

1． 证明：对正态分布

若只有一个观测值，则

的最大似然估计不存在.

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在似然估计不存在. 2． 设明:

为独立同分布的随机变量序列, 方差存在. 又设服从大数定律. 【答案】不妨

设

又因为

否则

令

. 因为

故有

所以由马尔可夫大数定律知

3． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明

：

【答案】

4． 设按有无特性A 与B 将n 个样品分成四类，组成

表

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时趋于这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大

为绝对收敛级数. 令证

, 并讨

论即可.

由

知

为绝对收敛级数, 可记

服从大数定律.

列联表：

其中n=a+b+c+d，试证明此列联表独立性检验的统计量可以表示成

【答案】

检验的假设问题为

与B 是独立的. 统计表示如下：

进而得到

因而检验统计量为

在原假设成立下，我们计算诸参数的最大似然估计，为

证明完成.

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5． 设是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，

（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是

的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为

由此可见（2）

是的无偏估计.

是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为

由此可见

（3）反证法，倘若

是p （1-p ）的一个无偏估计.

是1/p的无偏估计，则有

或者

上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在.

6． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即

7． 如果

【答案】记因为令而

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令

时, 有

时, 有

当, 结论得证.

, 试证:

与X 的分布函数分别为

, 故存在, 因为

, 使当, 故存在

和时, 有

使当

, 时, 有

. 对任给的

取足够大的和

使

是F （x ）的连续点, 且