2018年天津医科大学流行病与卫生统计学614数学综合之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 求由曲线
与坐标轴所围图形的面积.
【答案】如图所示, 曲线与x 轴、y 轴的交点为（a , 0）和（0, b ）所围图形的面积为
图
2． 计算下列第一型曲面积分:
（1）（2）（3）（4）
, 其中S 为上半球面其中S 为立体, 其中S 为柱面
;
的边界曲面;
被平面z=0, z=H所截取的部分;
. 其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.
【答案】（1）因
从而
（2）面积S 由两部分S 1, S 2组成, 其中S 1:影区域都是
, 由极坐标变换可得
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, S 2
:, 它们在:xOy 面上的投
（3）（4）
3． 应用凸函数概念证明如下不等式:
（1）对任意实数a , b, 有（2）对任何非负实数a , b
, 有【答案】
（1）令定义中的（2）
. 因, 则有
,
.
恒成立, 故是
. , 当
时
,
, 从而
是
上
上的凸函数,
的凹函数.
故由定义可知,
对任意非负实数a ,
b, 有
即
4．
设
在点
的某邻域内存在且在点
可微, 则有
【答案】
应用中值定理有（对
）
由在
处可微知
所以从而
5． 计算
【答案】令
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同理由在处可微得
6． 若
【答案】由
, 计算
知
二、证明题
7． 设f （x ）在
内可微, 且满足不等式
证明:存在一点
, 使得
【答案】由已知的不等式,
. 令
则
由推广的罗尔定理
, 使得
即
8． 设f , g 为定义在D 上的有界函数, 满足
（1）（2）
第
4
页，
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证明:
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