2018年沈阳师范大学数学与系统科学学院851数学分析二考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设E 为平面上一个有界闭集, 连续函数f 将E 一对一映为平面上的点集F , 证明:（1）F 也是有界闭集; （2） f 的逆映射也是连续函数.
【答案】（1）由E 为有界闭集, f 为连续函数, 显然F 是有界的. 下证F 为闭集. 设
为F 中的任意一个无限点集, 对于每个
即存在
的子列
存在一个使
则
从而为聚点, 即F 中的点均是聚点, 从而F 为有界闭集. （2）由f 是一一映射, 知由令上述由
2． 证明sinx
在
【答案】对于任意的
在
连续, 即当
存在. 并且对当
时,
是F 上的连续函数.
上一致连续.
有
对任给的sinx
在
3． 设函数f （x ）在闭区间[0, 1]上连续, 在开区间（0, 1）内可微, 且f （0）=f（1）=0，证明:
（1）存在（2）存在【答案】（1）令
, 使得使得
, 则
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的
它必有聚点满足
存在
使得 从而
在
连续.
时,
的任意性, 知
,
取, 则对一切
,
当时,
有, 故
上一致连续
.
,
.
∵函数∴函数
在闭区间在闭区间
上连续, 上连续.
使得
即存在
使得
由连续函数的零点存在定理知, 存在
（2）令显然在闭区间上连续, 在开区间
内可微. 由于
且由（1）的结论知, 存在根据罗尔中值定理, 存在
使得使得
由于
所以有
4． 设
证明
所以对任意
的
存
在
使得
当
【答案】因
为时,
取
5． 设f 在
【答案】令因此, g
为得在
上则当
时, 上可微, 且
则
上的递减函数. 于是
, .
于是
即证明:在
因为.
上
, 所以
,
故.
, 由此
二、解答题
6． 研宄函数
【答案】设由于当
又
连续, 则
时
在
的连续性及可微性.
且上连续.
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收敛, 故在上一致收敛,
设因为
对x 求导得,
一致有界,
单调递减趋于0,
在
所以由狄利克雷判别法知
故
在
上可微.
上一致收敛,
7． 求圆的渐伸线（a , 0）与终点B
【答案】方法一:如图所示:
和连接两个端点:起点A
的直线段AB 所围成图形的面积, 并求渐伸线的弧长
.
图
所围图形面积为
方法二:
的面积
的面积
,
即得
方法三:用极坐标. 向径0B 的极角
当
时,
.
|的面积, 其中
又
>
于是
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为曲线的极坐标方程,
为