2018年太原科技大学应用科学学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 若f （x , y ）为有界闭区域D 上的非负连续函数, 且在D 上不恒为零, 则
【答案】由题设存在使得对一切又
2． 若一元函数
且连续, 所以在[a, b]上连续, 令
试讨论f 在D 上是否连续？是否一致连续？ 【答案】先讨论f 在D 上的连续性.
任取
且因此当
于是f （x , y
）在点由于
因为时, 有
且
时,
处连续, 因而f 在D 上连续.
下面讨论f 在D 上的一致连续性:
在[a, b]上连续, 从而一致连续.
存在
使当
且
时, 有
故f 在D 上一致连续.
3． 计算积分
其中S : x+y+z=t,
【答案】将z=t－x －y 代入
整理可得:
由此可知, 当当
时, 平面S 在球
内;
之外, 所以
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,
, . , 有
令
.
, 由连续函数的局部保号性知:
故
在[a, b]上连续,
从而对x 0连续,
对任给的
存在
使当
于是对任给的
因此, 当
时, 有
且
从而
时, 平面S 在球
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显然当
时.F
（t ） =0,
所以只需计算
时的积分:
其中D 是式（1）所表示的区域. 作变换
则D 变为
:
其中
. 于是
对式（3）右边进一步计算得
所以
4． 设a>0, b>0,
求
【答案】当
和
.
时
, 被积函数趋向于
0,
所以积分是正常积分. 注意到
则原积分可写成
由于
在
（设a 记 , 连续使用分部积分法可得 即 第 3 页 ，共 28 页 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 于是 5． 设f 为R 上连续函数, 常数 . 记 证明:f 在R 上连续. 【答案】（1）证法一 , 因为 而f （x ）、c 连续, 由连续函数的代数运算知, F （x ）在R 上连续. （2）证法二, 设 则u （x ）处处连续, 又因为f （x ）连续, 由连续函数的运算法则知, 复合函数 也是连续的. （3）证法三, 直接用连续函数的定义证明 . 设当 . 当若因此当 对 6． 设x , y , 令求驻点： 时, 且 所以 若F （x ）=C, 则 时, 总有 同样可得, 故F （x ）在 x 0连续. , 求 的最大最小值. 时, 设 , 由F （x ）的定义知 . 当 时, 显然F （x ）在连续. , 因为f （x ）在x 0连续, 所以 , 则F （x ） =f（x ）, 所以 【答案】（1）先考查内部情形，利用求条件极值的拉格朗日乘数法 第 4 页 ，共 28 页