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一、解答题

1． 研究函数

当y ＞0时,

当y ＜0时,

因此

所以F （y ）在y=0处不连续, 当

F （y ）连续.

2． 设:二阶可导, 且有稳定点; f :

（1）试求f 的所有稳定点;

（2）证明f 的所有稳定点都是退化的. 即在这些稳定点处, 【答案】（1）因为

r

令

.

（2）设所以

即

为退化矩阵（n=1时结论不一定成立）.

, x 0是, 的一个稳定点, 因为

*

,

则

设的稳定点的全体为D , 所以f 的所有稳定点的全体

为是退化矩阵（即在稳定点处

）.

时

在[0, 1] ×[c, d]上连续, 所以当.

时, 函数

的连续性, 其中f （x ）在闭区间[0, 1]上是正的连续函数.

.

【答案】由于f （x ）在[0, 1]上是正的连续函数, 故存在正数m , 使得

,

且

3． 设f （

x ）在区间

[0, 1]上二阶可导且满足收敛域.

【答案】由

和. 令, 求的

及f

（x ）在点x=0

连续、可导知

, 于是

由此可知, 当n 充分大时有大时有

且与有相同的敛散性, 从而收敛. 又当n 充分

即

由此可知

即级数为[-1, 1].

4

．

把函数

在（0

, 4

）上展开成余弦级数.

【答案】对f （x ）作周期为8的偶延拓, 得一连续偶函数, 故在（0, 4）上可将f （x ）展为余弦级数.

的收敛半径R=1, 当

时

与

都收敛, 故原级数的收敛域

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所以由收敛定理, 在（0, 4）内.

5． 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分:

（1）

所围平面区域上侧在曲线的左侧;

（2）（3）

为顶点的三角形沿ABCA 的方向.

【答案】（1）记L 为曲面S :

z=1—

x —

y

（

）的边界, 由斯托克斯公式知

且

同理

因此原积分=0.

（2）记L 为该椭圆的边界, 则

其中S 为所交椭圆面, （3）原式

其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线, 它的走向使

>其中L 为

. , x=y所交的椭圆的正向;

, 其中L 是以A （a , 0, 0）, B （0, a

, 0）,

C （

0,

0, a ）

是S 在xy 面的投影.