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一、证明题

1． 设

（1）（2）若

【答案】（1）因为

证明:

则

所以

又因为（2）因

为

于是

因为

2． 证明定理: （1）设f 在时的无穷大量. （2）若g 为

【答案】（1）因为f 在正数M ,

因为f 为使得当（2）因为g 为于是,

存在即为

在使得当

时的无穷小量.

上可导, 若上n 阶可导,

若

和

都存在, 则都存在, 则

【答案】（1）设

, 由拉格朗日中值定理得

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所以

所以对

于

存在N , 使得

当

时

,

即

所以

的无穷小量, 则为

时的无穷小量.

内也有定义. 对于任意大的

;

内有定义且不等于0. 若f 为时的无穷大量, 则

为

内有定义且不等于0, 所以在

存在正数’即

故为使得当由g 为即

时的无穷小量, 即

时,

时的无穷大量

时,

时的无穷大量, 故存在内有定义. 对于任给的

时,

时的无穷大量知, 故

,

3． 证明:（1）设f 在

（2）设f 在

因为

（2）把函数其中

都存在且相等,

所以有, 故

在点

x 处展开为

n-l 阶泰勒公式得 . 把

看作未知数

, 解上述线性方程组. 设这

个线段方程组的系数矩阵为A ,

则

由范德蒙行列式的求值公式知, . 于是,

的线性组合. 由

可以表示为

存在可得

. .

存在（其中

于是. 由

4

． 将函数

【答案】由

存在（k=1, 2, n-1）. 根据（1）的结论,

的存在性可知

在x=0点展开为幂级数, 并证明此幂级数在[0, 1]上一致收敛.

逐项积分上式得

因为

及

在[0, 1]上连续

.

收敛, 则

在[0, R]上一致收敛, 且

若

和函数

在

上有界, 则

收敛

, 还可以逐项积分, 即

根据定理“若

可知级数

5． 证明:若函数

且则在

收敛; 再根据以上定理知幂级数在[0, 1]上一致收敛.

在区间[a, b]上连续,

内至少存在一点, 使得

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.

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【答案】设函数在区间上有最大值M , 最小值m , 不妨设则对

由闭区间上连续函数的介值定理

,

可知在

内至少存在一点,

使得

当

时, 取即可.

二、解答题

6

． —个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水. 试问把水抽尽需作多少功？

【答案】如图所示, 功的微元为

, 故所求的功为

图

7． 求极限

【答案】考虑二元函数

易知f （x , y ）是函数, 因此

, 故

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上的连续函数, 从而积分是上的连续