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一、证明题

1． 设函数f 定义在证明:

则有

由

得

. 于是

再根据 2． 设

【答案】要证即只要证因

故

证明只要证

即证

得:

.

,

在区间

内有上界M. 限制

【答案】设正整数

上, f 在每一个有限区间

内有界, 并满足

,

因此只要证由由这表明

知,

即只要证知,

单调增加, 假如因此

；

有上界, 则矛盾.

必有极限a ,

单调增加、没有上界, 因此

3． 证明:若f 在[a, b]上连续, 且对任何

【答案】设

.

设

上恒正.

且（或

异号, 由根的存在定理知, 在区间, 即f 在题设矛盾. 故

4． 设f （x ）对一切

证明:【答案】

, 因为

, 则f 在, 由题设知

上恒正或恒负. . 假如

,

那么

与. 这与

）内至少存在一点, 使得时同理可证f （x ）恒负.

在[0, b]上可积, 且

所以

, 当x>A时有

. 于是

因f （x ）在[0, A]上可积, 从而有界, 所以于是

,

使得.

因当

时,

有

, 所以对

,

当

时有

, 故

二、计算题

5． 试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性:

（1）（2>（3）

【答案】（1）令

当2m —1>1时收敛. 当

时发散, 所以积分

在m>1时收敛,

时发散.

, D 为全平面;

.

（2）由区域的对称性和被积函数关于x 和y 的奇偶性得

由于

, 当P>1时收敛,

时发散. 所以原式当P>1, q>1时收敛, 其他情况发散.

（3）由条件知

由也发散; 所以当

6． 求空间一点

, 当时收敛, 此时原积分也收敛; 当

时积分收敛

.

的最短距离.

时发散, 此时原积分

时积分发散,

到平面下的最小值问题

.

【答案】由题意,

相当于

求由几何学知, 空间定点到平面的最短距离存在

. 设

令

由①, ②, ③得

代入④解得

所以

故

为所求最短距离.

7

．

把函数

在（0

, 1）上展开成余弦级数, 并推出

【答案】将

f （x ）作周期为2的偶延拓, 得一连续的延拓函数.

由收敛定理, 在（0, 1）内

当x=0时, 因延拓函数连续, 故上式右端收敛到f （0）,

在条

件