2018年云南师范大学数学学院831数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
, 证明:
【答案】由拉格朗日中值定理知,
, 使得
因为上式右端大于0, 所以f （b ）-f （a ）>0 下面只需证明:令因为当 2． 设
为递减正项数列. 证明:级数
与
与
同时收敛, 同时发散.
和
. 有
由此知, 若又因为
由此知, 若于是
3． 设f 为
使
在,, 则存在
上不能恒为正, 也不能恒为负. 用反证法, 假设恒有
, 使得（介于
之间）.
设
. 由泰勒定理得,
【答案】先证
与
收敛, 则
有上界, 故
也收敛.
收敛, 则
有上界, 从而
, 有上界, 即
有上界, 因此
收敛.
时
,
, 则
.
, 显然x=2是g （x ）在
当l , , 从而原不等式成立. 上的唯一驻点. 所以x=2是g （x ）的最大值点. 于是 【答案】设正项级数的部分和分别是. 同时收敛, 同时发散. 上的二阶可导函数, 若f 在 上有界, 则存在 , 于是假设不存在对 , 这与f （x ）在 使 应用达布定理可知, 存在 上有界矛盾. 再用反证法证明原命题. . 则存在a 、b , 使得 使得 , , 这与假设矛盾, 故原命题得证. 二、解答题 4． 计算 【答案】设 , 其中为曲线 , 因为 所以积分与路径无关. 取积分路径为从（1, 1, 0）到（1, 1, 1）的直线段, 则 5． 设 是开集f : 为可微函数, 且对任何 则对一切【答案】因为 由此可知 由条件 , 知 可逆, 又 于是有 . 6． 问下列积分是否可积（即原函数是初等函数）: （1） （2） , 由此可见, 由于（2）原式 由此可见 由于 三个量都非整数, 从而原式不可积. 从（1, 1, 0）到（1, 1, 1）的部分. , 试证:若 【答案】（1）原式 三个量都非整数, 从而原式不可积. 7． 设 , 求证 : ,, 显然有 . 于是 8． 试问k 为何值时, 下列函数列 （1）（2） 【答案】（1）由 又所以 因此当k 时, 只要 为就有 上一致收敛. , 则f （x ）=0, 故的极限函数 . 所以k 9． 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分: （1） 所围平面区域上侧在曲线的左侧; （2）（3） 为顶点的三角形沿ABCA 的方向. 【答案】（1）记L 为曲面S : z=1—x —y （ ）的边界, 由斯托克斯公式知 【答案】令 一致收敛: , 设 则 上的最大值, 从而 , 故 在时取得 其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线, 它的走向使 >其中L 为 . , x=y所交的椭圆的正向; , 其中L 是以A （a , 0, 0）, B （0, a , 0）, C （0, 0, a ）
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