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一、解答题

1． 试求下列方程所确定的函数的偏导数

（1）（2）

所以

同理两边对y 求偏导数得

（2）两边对x 求偏导数有

所以

两边对y 求偏导数, 得

故

2． 求极限

【答案】令

（k 为自然数）.

, 由

可得原极限

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【答案】（1）把u 看成x , y 的函数, 两边对x 求偏导数, 得

.

3． 计算

【答案】

4． 设

【答案】因为

, 试求极限

, 所以

5． 求下列函数的极值点:

（1）（2）（3）

【答案】（1）解方程组

得稳定点（a ，a ）, （0, 0）， 由于

所以（a ，a ）为极大值点，

所以（0, 0）不是极值点， （2）由

得稳定点（1，0），

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.

故函数f （x ，y ）在点（1，0）取得极小值• （3）解方程组

得稳定点:由于

所以

为极小值点.

6． —个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水. 试问把水抽尽需作多少功？

【答案】如图所示, 功的微元为

, 故所求的功为

图

二、证明题

7．

使得

【答案】根据题意,

满足

则

易知显然由⑴若若①

当

则, 则

. , 若

则

则由推广的罗尔定理知, 存

在

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证明存在非负单调数列

时, 由于

. , 使得