2017年海南师范大学数学与统计学院905高等数学[专业硕士]考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
在
上可导，且
使得
【答案】用上例的思路来证明之. 令
以及
显然得一点
使
.
再在
如此下去，可以求出
在每一个小区间. 上，对即
亦即
将上式对
从到n 求和，可得
2． 设S 为非空有下界数集. 证明：
【答案】必要性，设的任一元素X ，
充分性，设取
则
. 又因为
则
因为是S 的下确界，所以是S 的一个下界. 于是，对于S 所以是S 中最小的数. 即并且对于S 中的任意元素
即是S 的一个下界.
对于任意
•
取上对
•在. 使得
应用拉格朗日中值定理，存在
上对
应用介值定理，可以求
使
总之，我们有
，使得
应用介值定理，
又可求得一点
为n 个正数. 证明在区间
内存
在一组互不相等的数
所以是S 的下确界，即
3． 证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根.
【答案】设有一个奇次方程为则
由得
于是
知，
存在正数
使得
由
知，存在负数
：
使
异号. 由根的存在定理知，
内至少有一个根.
其中
设
令
故任一实系数奇次方程至少有一个实根.
4． 证明：若二元函数f 在点的某邻域续.
【答案】成立，由于
在U (P ) 内有界，设此邻域为
内的偏导函数存在
使
有界，则f 在
在
上连内
其中所以对任意的正数，存在
故f
在
内连续.
当时，有
5． 已知f (x ) 在[0，1]上二阶连续可导，证明：
【答案】因为f (x ) 连续，所以
可被取到，不妨设
由拉格朗日中值定理得
又因为
所以
即
6． 证明：若函数f , g 在区间
【答案】令于是，F (x ) 在 7． 设级数
证明：当下极限发散. 【答案】(1) 由于当n 充分大时，敛.
(2) 由
比较判别法知，级数
上可导，且
则
则在
内有
上严格递增，故当
时时，级数
即
收敛；当上极限
时，
，
即
由比较判别法知级数
收
当n 足够大时，发散.
即由
二、解答题
8． 试确定的值，使下列函数与当
【答案】（1）因为
所以，当（2）因为当所以，当
（3）
于是，当
时，
与当
时为同阶无穷大量.
9． 在下列积分中引入新变量u ，v 后，试将它化为累次积分：
【答案】(1) 由
时为同阶无穷大量：
时，
时，
与
当时为同阶无穷大量.
时与
当时为同阶无穷大量.