2017年合肥工业大学数学学院716数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为
上的连续递增函数，则
即可.
使
2． 设
【答案】方法一由于是当
时，有
即方法二设
由所以
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.
【答案】只要证明由于
单调递增，利用积分第二中值定理，则存在
证明：
因有极限点列必为有界点列，故存在
当
时，有
使
令
可得
二、解答题
3． 如图所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积。
图
【答案】椭圆柱面的方程为性质有
解得
于是
故所求体积
4． 设
【答案】二元函数
上可微，且
5． 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点与有界点：
【答案】(1) 经判定可知该点集是有界集，也是区域，但既不是开集又不是闭集.
其聚点为
. 中任一点. 界点为矩形
的四条边上的任一点.
(2) 该集为开集，不是有界集也不是区域，其聚点为平面上任一点，其界点为两坐标轴上的点.
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设垂直于X 轴的截面面积为则由相似三角形的
在矩形区域
上连续，
均为可微函数. 则函数
在
(3) 该集为无界闭集，不是开集不是区域，其聚点为坐标轴上的任一点，而界点与聚点相同. (4) 该集为开集，且为区域，聚点为满足(5) 该集为有界开集，界点为直线内的任一点和任一界点.
(6) 该集为有界闭集，聚点为闭集中任一点，界点与聚点相同. (7) 该集为有界闭集，聚点为集合中除去
部分.
均为整数) 中的全体点.
上的点，界点与聚点相同.
(8) 该集为闭集，没有聚点，界点为集合
6． 求以下数列的上、下极限
【答案】（1）当n 为偶数时，没有其他的聚点. 故
（2）令
则由数列
的偶数项、奇数项组成的数列分别是
因为
所以
和
都是数列
的聚点，由于
（3）因
（4
）
故
（5）因为
所以
（6）因为_
，所以:
而
由迫敛性得知
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上任一点，界点为，上的所有点.
所围成的三角形三边上的点，聚点为开集
中的所有点，界点为聚点
(9) 该集为非开非闭的无界集，聚点为点(0, 0) 及曲线
当n 为奇数时，而数列
没有其他的聚点，
因此
故数
列
的项共有5个不同的值
：
和1，显然
，