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一、证明题

1． 证明下述命题：

(1) 设为(2) 设为要条件为

【答案】(1) 取故(2) 由于在

收敛，从而

上

上的非负连续函数. 若上的连续可微函数，且当收敛.

则由收敛.

均为连续函数，任给

有

设即

收敛，由收敛.

又若由于

的单调性可知，

收敛，

则对任给

存在

从而可知

使得当使

于是令

故有

所以有

2． 设p (x ) 为多项式

【答案】因为为于是

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收敛，则时，

也收敛.

收敛的充

递减地趋于0, 则

收敛，可知

也收敛，而

存在，

时，

有

不变号，故由积分中值定理知，存在

_可知

存在，即为

收敛. 劼收敛的充要条件是

的r-l 重实根.

收敛.

的r 重实根. 证明必定是的r 重实根，所以

其中q (x ) 为多项式，且

又因

3． 通过对

【答案】在

故是

施用中值定理，证明对某

的r-l 重实根

有

中，令

则

即

.

4． 证明：

【答案】将原不等式变形为

这样就将问题转化为求令

解之可得，在D 的内部有惟一驻点(1，1) ，且注意到，

下面求f (X ，y ) 在D 的边界上的最大值. 在y=0上，令最大值为

综上，f (x ，y ) 在D 上的最大值为

5． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.

【答案】不妨设

若

取

同样，若若

有

且满足

取

得证；

若

如此继续可得闭区间套

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成立.

在区域上的最大值.

所以f (x ，y ) 在D

的内部最大值为

和

，可得驻点

此时

因此，f (x ，y ) 在y=0上的

即

同理，f (x , y ) 在x=0上的最大值为

若

若

得证；

取

于是

有

取满足

于是

于是由闭区间套定理知存在惟一的因为f (x ) 在由于

处连续，故

所以

故有

且

6． 设f (t ) 在区间(a ，b ) 内连续可导，函数

定义在区域【答案】因为

上，对任何

在(a , b) 内连续可导，所以当

使得

又由于当

可见对任意的时

且

总存在介于x 与y 之间，使得

在c 处连续，从而

有

且

时，在

或

上，应用

拉格朗日定理知：存在

二、解答题

7． 设周期为2π的可积函数

试问的傅里叶系数【答案】

8． 试分别举出符合下列要求的函数f :

不存在.

【答案】（1）令（2）令

则

则

1不存在.

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满足以下关系式：

的傅里叶系数

有什么关系？

而于是