2017年合肥工业大学数学学院716数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设数形式. 令
是由方程代
则
所确定的隐函数，试求
【答案】
欲将从所给的方程中解出来是非常困难的，甚至是不可能的，因此，必须引入参入所给的方程可得
故
2． 设函数f ，g 在
的某个领域上可导，
且
如果
证明
其中A 是实数.
【答案】取
由
中值定理，令
有
从而所以令
则
使得当
时，有
将使
固定，令
有
于是，
第 2 页，共 26 页
则由
知道
所以
二、解答题
3． 半径为r 的球体沉入水中，其比重与水相同. 试问将球体从水中携出需作多少功？
【答案】如图所示，取一水平层的微元，对此微元需作功
图
4． 设
在
上有界
，
存在，且
另一方面，
由
有界，
知
【答案】一方面，由洛必达法则
，
从而
5． 求下列极限：
【答案】因为
所以
第 3 页，共 26 页
6． 求下列函数在指定点处的泰勒公式：
(1) (2) (3) (4) . 【答案】
所以
其中
(2)
所以
其中
(3) 由于
第 4 页，共 26 页
在点(0, 0)(到二阶为止) ；
在点(1，1)(到三阶为止) ；
在点(0, 0) ;
在点(1, -2)