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一、计算题

1． 试求图示两端固定梁的前三个自振频率和主振型。

图1

【答案】两端固定梁的边界条件为代入式，得到

所以

代入两式后，得到

因为

中系数不能全为0, 所以上式有解，即行列式为

整理可得，

通过试算，可得其前三个根其三阶频率

代入公式

可得

2． 用矩阵位移法计算图（a ）所示桁架，求①杆内力，EA 为常量。

图

【答案】根据题意，可知有两个位移未知量，分别是2结点的水平位移和竖向位移，各单元的方向如图（b ）所示。局部坐标系中的单元刚度矩阵为：

单元

单元坐标转换矩阵为：

单元②、单元③需要坐标变换，但由于每个单元只有一端有位移未知量，故坐标变换时取2x2阶（后两行、后两列）的单元刚度矩阵简化计算。即

单元①也取2x2阶单元刚度矩阵，即：各单元的定位向量为：

按照单元定位向量，依次将各单元刚度矩阵中的元素在[K]中定位并累加，最后得到：

等效结点荷载为：列基本方程：

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单元①的杆端力：

①杆内力值如图（b ）所示。

3． 试讨论图示两种方形水池在水压力作用下的受力特点，其计算简图应如何选取？

（a ）浅池（b ）深池

图

【答案】当矩形板的长边与短边之比大于2时，

沿短边的支承的影响已很小，可视为荷载只沿短边方向传递。

（a ）情况，因为池壁上端自由，所以墙面水压力只能向墙址方向传递，形成池壁下端固定，上端自由的悬臂构件计算模型。

（b ）情况，水压力可视为只沿水平方向传递到池壁两侧的支承边上，形成沿短边方向两端支承的单向板计算模型。

4． 计算并作下面结构的M 图。弯矩要求画在构件受拉一侧。

图

【答案】位移法计算。