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一、证明题

1． 证明:若

为任何闭集, f :

且存在正实数

. , 因为f :

, 所以必有

于是对任意的正整数n , P, 有

即

当n>N时, 对任给正整数P , 有

, 又因为D 为闭集, 所以

由于

有

所以f 在D 上任何点x 0处连续, 从而

故

为f 的不动点.

的惟一性若也就是

为, 的另外一个不动点, 则

即

2． 证明:

【答案】设

. 所以f 在D 上存在惟一的不动点.

（2）不动点

, 故由定理可知数列

收敛,

设

, 使得对任何

满足

则在D 中存在, 的惟一不动点即【答案】（1）不动点的存在性. 下面验证

满足柯西条件, 首先, 有

在R 上严格增.

则

即

故在上严格增.

3． 设

【答案】

作分割

理,

, 使得

, 求证:

设

, 则根据微分中值定

其中介于f （x' ）与f （x" ）之间. 因为可积函数一定有界, 所以可设式得

设与

分别表示f （x ）与

在

. 于是由（1）

上

上的振幅, 在公式（2）中, 让x' , x" 在

变化, 两边取上确界得到

由此推出

令限得

因此

上满足收敛定理条件的函数也成立（证略）. 请应用这个结

4． 由于帕塞瓦尔等式对于在果证明下列各式:

（1）（2）（3）

, 因为

, 所以

. 由此, 令

对（3）式取极

【答案】（1）知

且f （x ）周期延拓后在

上满足收敛定理条件, 故由帕塞瓦尔等式, 得

即

（2）知

又f （x ）周期延拓后在

内满足收敛定理条件, 由帕塞瓦尔等式, 得

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故（3）知

且f （x ）周期延拓后在

内满足收敛定理条件, 故

即

二、解答题

5． 应用换元积分法求下列不定积分:

（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13）（15）（17）（19）（21）（23）（25）（27）（29）（31）（33）（35）【答案】

（2） （4）

（6）

（8） （10） （12） （14）t （16）

（18） （20） （22） （24） （26）

（28）

（30）

（32）; （34） （36）

; G 为自然数