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一、计算题

1． 设f 在[a, b]上可积, 且

【答案】

任给当

,

由于

在. 且

上一致连续, 因此对上述, 存在时, 有

（*）

由于f （x ）在[a, b]上可积, 对上述正数和由可积第三充要条件知, 存在某一分割T , 使得在T 所属的小区间中,

注意

而这些小区间的长至多为

2． 求下列函数的n 阶导数:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】 （1

）

,

（2

）（3）

……

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, 试问在[a, b]上是否可积？为什么？

在[a, b]上是可积的. 事实上, 由于f （x ）在[a, b]上可积. 从而有界,

设

的所有小区间

上,

于是

的总长, 即

:而在其余小区间. 由式（*）知另一方面, 至多在

上

上,

由以上可知, 在T 的小区间

. 故由可积的第三充要条件知在[a, b]上可积.

.

.

（4）

由莱布尼茨公式得

（5

）

又因当（6）

设则

……

3． 求由分的区域, 则

作广义球坐标变换:

所围的立体的体积.

上, 用

表示位于第一卦限部

,

,

时,

所以

.

yOz 平面对称. 在上半空间【答案】显见立体关于xOy 平面、

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故

4． 检验一个半径为2米, 中心角为长,

设量角最大误差为

的工件面积如图,

现可直接测量其中心角或此角所对的弦

, 量弦长最大误差为3毫米

, 试问用哪一种方法检验的结果较为精确.

图

【答案】设弦长为1, 则角引起的弦长误差为

此由量角引起的弦长最大误差为:

所以由上面的讨论可知用直接测量此角所对的弦长方法检验, 所得的结果较为准确.

, 其中为中心角,

为量角误差, 从而当

时由量,

因

, 又因为量角时的最大误差为

二、证明题

5． 设正项级数

【答案】因为反之未必成立. 如

收敛，证明收敛，故

亦收敛；试问反之是否成立？

所以收敛，而

在比较原则可知级数发散.

收敛.

6． 证明:若函数f （x , y ）在有界闭区域D 上可积, 则f （x , y ）在D 上有界.

【答案】假设f 在D 上可积, 但在D 上无界, 那么, 对D 的任一分割个小区域上

无界. 当

时, 任取

, 令

由于f 在上无界, 从而存在从而

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,, 必在某

使得