2018年武汉科技大学信息科学与工程学院840数学分析考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
（这个函数在x=y时不连续）, 试证由含参量积分
所确定的函数在（﹣∞, ∞）上连续, 并作函数F （y ）的图像. 【答案】由于当
时,
所以
它在
上连续,
, 因此当y<0
时
时, f （x , y ）= ﹣1,
F （y ）的图像见图
图
2． 计算下列积分:
【答案】（1）令x=1—t , 则dx=—dt , 代入原积分, 有
所以
（用了欧拉积分
故
（2）
对上式右端第一个积分作变换:x=1+t, 则
于是有
3．
设
【答案】因为
, 试求极限
, 所以
4． 求下列极限:
.
）
【答案】（1）因
（x>0, y>0>）所以
（2）
.
二、证明题
5． （1）证明:若
（2）若时,
取故
则当
存在, 则存在, 试问是否成立
.
则对任给的
存在
使得当即
【答案】
（1）
设
时, 有
于是
,
（2）不一定成立. 例如, 取
则
这时
6． 证明:圆
存在, 但
不存在.
（
a>0）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角.
可得
【答案】设切线与向径的夹角为
而当
时,
tanx 为单值函数, 因而由可推出, 即圆上任一点的切线与向
径夹角等于向径的极角.
7． 证明
:若在
[a,
b]上f 为连续函数, g 为连续可微的单调函数, 则存在
【答案】设
则
, 于是有
由假设gU ）为单调函数, 故使得
, 使得
不变号, 从而根据推广的积分第一中值定理, 存在
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