2018年武汉理工大学理学院603数学分析二考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 试用定义证明:
（1）数列（2）数列敛于极限a.
（1
）取
,
则
,
当
不以1为极限. 因此, 数列, 发散. ，证明:
【答案】
所以
3． 设函数f 在区间I 上连续, 证明:
（1）若对任何有理数
有f （r ） =0, 则在I 上f （x ） =0;
有. 又因为
则f 在I 上严格增.
使.
当并且
, 所以
（2）若对任意两个有理数
由f 的连续性得
（2
）设有两个实数
是无界的. 设a 是任意一个实数, 取
之外, 否则
有界.
故数列
,
则不
中有无穷多个项落在
时
,
于是,
数列
中有无穷多个项落在
不以1为极限; 发散.
若在
之外数列
中的项至多只有有限个, 则称数列
收
【答案】定义:任给
之外. 由定义知, （2）当n 为偶数时
于是, 数列
收敛于任何一个数, 即数列
2． 设
【答案】（1）设x 0为中的任一无理数, 由有理数的稠密性知,
存在有理数列
为有理数时, f （r ）也为0, 于是, 在I 上f （x ）=0.
, 由有理数的稠密性知, 存在有理数r 1, r 2使得
,
因为f （x ）在I 上连续, 所以f （x ）在
由使得当
而当
, 满足可知
,
时,
时
,
.
对于正数
, 从而,
从而
. 再由
两点连续.
,
存在
；
.
存在有理数
知,
和
（设
）,
故f 在I 上严格递增.
4． 证明:若级数
收敛
,
又因为即
收敛, 从而
绝对收敛, 由阿贝尔变换知
又由即
所以
即
收敛.
, 收敛可知
收敛. 设
则
绝对收敛, 则级数收敛, 则其部分和数
列
也收敛.
有界. 设存在正数M , 使
得
【答案】因为级
数
二、解答题
5． 设有一质量分布不均匀的半圆弧
求它对原点（0, 0）处质量为m 的质点的引力. 【答案】设引力系数为k , 则对任一点（x , y ）, 有
故
且
, 其线密度（a 为常数）,
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6． 设
求
则有
所以
Abel 不等式
7． 有一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V 时, 要使容器的表面积为最小, 间底的半径与容器高的比例应该怎样?
【答案】设底的半径为r , 则
, 由
, 容器的高
, 又因为
, 故
. , 容器的表面积
于是故
得
,
,
【答案】设
是S （r ）的极小值点, 此时
即当底的半径与容器的高的比例为1: 1时, 容器的表面积为最小.
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