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一、证明题

1．

设

在

上可微,

且对于任何

有

求证:对任何正整数n ,

有

其中M 是一个与x 无关的常数.

【答案】由定积分的性质及积分中值定理有

其中

又因为

在

上可微, 所以由微分中值定理可知, 存在

使得

因此

2． 证明:

（1）可导的偶函数, 其导函数为奇函数； （2）可导的奇函数, 其导函数为偶函数； （3）可导的周期函数, 其导函数仍为周期函数. 【答案】（1）设f （x ）为偶函数, 则对任意

, 有

. 设

故

是奇函数.

, 有

. 设

, 则

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则

（2）设f （x ）为奇函数, 则对任意

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故

是偶函数.

故

3． 证明:

【答案】因为

续.

取

设是任一正数, 则

由

, 得, 但

4． 设f 在[a, b]上连续,

【答案】设

. 于是, 无论

故

多么小, 总存在两

点在, 证明:存在

中最小者为

上不一致连续

. , 使得

, 最大者为

, 则有

若若

理, 可以得知存在 5． 设

【答案】因使得当令

收敛, 且

在

且

在

上一致连续, 证明

或

, 则取

对f （x ）在区间（或

）使得

或, 就能满足题中要求. （或

）上应用连续函数的介值性定

满足

也是以T 为周期的周期函数.

在

[a, b]

上一致连续,

但在

在闭区间

上不一致连续.

上一致连

（3）设f （x ）是以T 为周期的周期函数. 对任意

上连续, 由一致连续性定理知, f （x ）在

上一致连续, 故对于

时, 有

则由积分第一中值定理得,

使得

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因也即取

收敛, 故级数故对上述的则当

收敛,

从而存在

使得当

即

时

,

.

时, 因

故存在惟一的, 使得. 易见, 且

从而

6． 证明定理 （有限覆盖定理）:

设

个开域用直线

为一有界闭域

,

为一个开域族, 它覆盖了 D （即‘

）.

t 之中, 并假设D 不能被

中有限个开域所覆盖,

分成四个相等的闭矩形,

那么至少有一个闭矩形

其中每一个闭矩形

中都至少含

）. 则在

中必存在有限

它们同样覆盖了 D

（即

把矩形

【答案】设有界闭域D 含在矩形它所含的D 的部分不能被所含的D

的部分都不能为有D 的一点,

任取其中一点为

由闭矩形套定理可知:存在一点

由于

中有限个开域所覆盖, 把这个矩形（若有几个, 则任选其一）再分为中有限个开域所覆盖, 于是, 每个闭矩形

则

且

满足对任意的自然数N 都有:

四个相等的闭矩形

, 按照这种分法 继续下去

,

可得一闭矩形套

所以

又因在由于

是有界闭域D 上的点, 所以中必有一开域包含

不妨设此开域为

使得

故n 充分大时, 恒有

可见, 矩形

包含于邻域

中, 从而包含于开域中,

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按定理条件,

.

则必存在点和一个邻域