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一、证明题

1． 证明:若

【答案】因

为时,

故定的

因此

是因为

2． 证明定理: 数列

收敛于a 的充要条件是:

的极限是1. 为无穷小数列, 则

按照数列收敛的定义, 数列

于是, 对任意收敛于a.

时

,

即

存在N , 使得

当

存在N , 使

即

于是, 数列（2）因为

3． 证明域

使得

收敛于0, 即

为无穷小数列. 是无穷小数列, 所以

在区间I 上内闭一致收敛于f 的充分且必要条件是:对任意在

上一致收敛于f.

总存在x 0

的一个邻域而当

在[a, b]上一致收敛于f , 因此

由已知时

,

覆盖[a, b].

有

.

使得

在有

和I 的一个内闭区间[a, b],

使得在

上一致收敛于f. 上一致收敛于f.

存在x 0的一个邻

存在

设则

当且仅当A 为何值时反之也成立?

所以对任给

的

存

在时, 也有

当且仅当使得当

对于函数

.

为无穷小数列.

时, 逆命题成立. 证明如下:如果

时, 有

有

. 即

但

不存在, 这则对任意给

使得

当

于是, 对于得到的这个当

并应用它证明数列【答案】（1）充分性, 设得当

时, 必要性, 设数

列

收敛于a , 那么, 对任

意

【答案】必要性

所以

充分性

从而

显然, 当x 0取遍[a, b]上所有点时,

由有限覆盖定理, 存在有限个区间覆盖[a, b].不妨设

取

则当n>N时,

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所以

4． 证明:当

【答案】因为

所以

在[a, b]上一致收敛

. 由

[a, b]的任意性

,

得

时

在I 上内闭一致收敛于f.

二、解答题

5． 设

【答案】由’

,

其中z=f

（x

, y

）由方程

所确定的隐函数求

故

6． 试写出单位正方体为积分区域时, 柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.

【答案】

在柱面坐标系下, 用z=c的平面截立方体, 截口是正方形, 因此, 单位立方体可表示为

及

所确定的隐函数z=f（x , y ）得.

在球面坐标系下, 用

的平面截立方体, 截口是长方形, 因此单位立方体可表示为

和

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和

其中

7

． 计算广义三重积分

其中D

为【答案】作变换

:

.

,

则

I

所以

其中为再作球坐标变换

则

且

. 而

故

其中作变换:

, 则

.

.

. 由上式可见, 积分是存在的, 下面展开计算.