2018年河南大学数学与统计学院629基础课(数学分析)之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1. 设f (x )在[a, b]上连续, 在(a , b )内二阶可导, 证明:
, 使
【答案】记
, 则过三点
的抛物线为
令而
又
由 2. 设
证明
所以对任意
的
存
在
使得
当
【答案】因
为时,
取
3. 设函数
(1)当n 为正整数, 且(2)
.
, 且
, 所以
又因为
是以为周期的函数, 所以
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, 则F (a )=F(c )=f(6)=0, 故存在使
立即可得出结论.
则当
时,
时, 证明:
【答案】(1)因为
于是
即
.
所以当
(2)由(1)知, 当
时,
有
. 时, 有
.
令
可得
, 则f (x )在
上也可积.
, 在T
4. 证明:若f (x )在[a, b]上可积,
【答案】已知f (x )在[a, b]上可积, 故任给上增加
, 存在对[a, b]的某分割T , 使得
两个分点
, , 得到一个新的分割T’, 则由上题结论知
分割T’在
上的部分, 构成
的一个分割, 记为
, 则有
故由可积准则知, f (x )在
上可积.
二、解答题
5. 周期函数的原函数是否还是周期函数?
【答案】设F (x )是f (x )的原函数, 且
因此, F (x )也是周期函数.
6. 试确定曲线
(1)(2)【答案】曲线(1)直线. (2)直线故曲线
7. 试给出函数f 的例子, 使性有矛盾吗?
【答案】令
在实数集R 上
恒成立. 但
.
, 这与极限的局部保
恒成立, 而在某一点
处有
这同极限的局部保号
上点; .
在x 处的切线斜率为的斜率为1. 由的斜率为2. 由
得x=1, 故曲线得
,
.
上点(1, 0
)的切线平行于直线
上哪些点的切线平行于下列直线:
.
的切线平行于直线y=2x—3.
号性不矛盾. 因为函数极限的局部保号性定理的题设要求
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8. 设n 是平面区域D 的正向边界线C 的外法线, 则
【答案】由Green 公式有
9. 检验一个半径为2米, 中心角为长, 设量角最大误差为
的工件面积如图, 现可直接测量其中心角或此角所对的弦
, 量弦长最大误差为3毫米, 试问用哪一种方法检验的结果较为精确
.
图
【答案】设弦长为1, 则角引起的弦长误差为
此由量角引起的弦长最大误差为:
所以由上面的讨论可知用直接测量此角所对的弦长方法检验, 所得的结果较为准确.
, 其中为中心角,
为量角误差, 从而当
时由量
, 因
,
又因为量角时的最大误差为
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