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2018年河南大学数学与统计学院629基础课(数学分析)之数学分析考研强化五套模拟题

  摘要

一、证明题

1. 设f (x )在[a, b]上连续, 在(a , b )内二阶可导, 证明:

, 使

【答案】记

, 则过三点

的抛物线为

令而

由 2. 设

证明

所以对任意

使得

【答案】因

为时,

3. 设函数

(1)当n 为正整数, 且(2)

.

, 且

, 所以

又因为

是以为周期的函数, 所以

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, 则F (a )=F(c )=f(6)=0, 故存在使

立即可得出结论.

则当

时,

时, 证明:

【答案】(1)因为

于是

.

所以当

(2)由(1)知, 当

时,

. 时, 有

.

可得

, 则f (x )在

上也可积.

, 在T

4. 证明:若f (x )在[a, b]上可积,

【答案】已知f (x )在[a, b]上可积, 故任给上增加

, 存在对[a, b]的某分割T , 使得

两个分点

, , 得到一个新的分割T’, 则由上题结论知

分割T’在

上的部分, 构成

的一个分割, 记为

, 则有

故由可积准则知, f (x )在

上可积.

二、解答题

5. 周期函数的原函数是否还是周期函数?

【答案】设F (x )是f (x )的原函数, 且

因此, F (x )也是周期函数.

6. 试确定曲线

(1)(2)【答案】曲线(1)直线. (2)直线故曲线

7. 试给出函数f 的例子, 使性有矛盾吗?

【答案】令

在实数集R 上

恒成立. 但

.

, 这与极限的局部保

恒成立, 而在某一点

处有

这同极限的局部保号

上点; .

在x 处的切线斜率为的斜率为1. 由的斜率为2. 由

得x=1, 故曲线得

,

.

上点(1, 0

)的切线平行于直线

上哪些点的切线平行于下列直线:

.

的切线平行于直线y=2x—3.

号性不矛盾. 因为函数极限的局部保号性定理的题设要求

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8. 设n 是平面区域D 的正向边界线C 的外法线, 则

【答案】由Green 公式有

9. 检验一个半径为2米, 中心角为长, 设量角最大误差为

的工件面积如图, 现可直接测量其中心角或此角所对的弦

, 量弦长最大误差为3毫米, 试问用哪一种方法检验的结果较为精确

.

【答案】设弦长为1, 则角引起的弦长误差为

此由量角引起的弦长最大误差为:

所以由上面的讨论可知用直接测量此角所对的弦长方法检验, 所得的结果较为准确.

, 其中为中心角,

为量角误差, 从而当

时由量

, 因

,

又因为量角时的最大误差为

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