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一、证明题

1． 设

【答案】由上确界定义, 对

证明:存在

使使

又由

由迫敛性得

2． 设f （X ，y ）可微，I1与l2是R2上的一组线性无关向量，试证明:若（x , y ）三常数.

【答案】由已知

为的方向余弦，

①

②

则f

成立

为的方向余弦，又因为I 1与l 2线性无关，所以

于是由①、②可得，

3． 设

且

故f （X ，y ）=常数.

是一个严格开区间套, 即满足

证明:存在惟一的一点

使得

【答案】由题设知, 使得

4． 证明:（1）若函数f 在

（3）对任意实数在一点,

使得

, 又因为都有

是一个闭区间套. 由区间套定理知, 存在惟一的点, 又因

, 所以

上可导, 且

, 则. 则

（2）若函数f （x ）在[a, b]上可导, 且

【答案】（1）因为f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以在（a , b ）内至少存

于是

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, 因此

（

2）因为f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以在（a , b ）内至少存在一点 使得（3）当

,

又因为

时, 结论成立. 当

时, 设

, 于是

令

由（2）的结论知, 5． 设

在

上单调增加

,

不成立, 那么显然

则对

存在

使得

有

求证:对任何正整数n ,

有

证明:

.

由于

与单调性矛盾, 因此假设不成立.

【答案】设用反证法, 假设不妨设

是连续函数

, 则对于任意的

于是

6．

设

在

上可微, 且对于任何即证得

显然M 是非空的, 下证

. 则

. 因此

其中M

是一个与x

无关的常数.

【答案】由定积分的性质及积分中值定理有

其中

又因为

在

上可微, 所以由微分中值定理可知, 存在

使得

因此

7． 由根式判别法证明级数

【答案】记

收敛, 并说明比式判别法对此级数无效. 则

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故比式判别法对此级数无效. 又

故

由根式判别法知此级数收敛. 8

． 已知

求证

时,

则要证的不等式等价于

令

则

而

故

从而有

9． 利用

【答案】因为

为递增数列的结论, 证明

为递增数列, 所以

即

从而

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【答案】当

为递增数列.