2018年哈尔滨工业大学理学院612数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 计算下列二重积分:
（1）（2）（3）（4）
, 其中
原积分=
, 其中D 由抛物线
, 其中
, 其中D 为图1中阴影部分;
.
与直线
所围成的区域;
【答案】（1）D 如图1,
图1
（2）原积分=（3）D 如图2,
图2
（4）D 如图3,
原积分=
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图
3
2． 求函数
的傅里叶级数并讨论其收敛性
.
【答案】因为延拓函数为按段光滑的偶函数, 故
所以由收敛定理, 当又因f 延拓后在
时
上连续, 故上式对任
均成立.
3． 计算下列引力:（1）均匀薄片量的引力; （2）均匀柱体
,
, z=0, 对于轴上一点（0, 0, c ）, （c>0）处的单位质, （c>h
）处的单位质量的引力
; （
3）对于点P （0, 0, c ）
均匀密度的正圆锥体（高h , 底半径R ）对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.
【答案】（1）设物体密度为u , 由对称性, 引力必在Z 轴方向上因此.
故
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（2）设物体密度为, 则由对称性知
下求
故
其中k
为引力系数.
（3）设物体密度为, 由对称性知
, 只需求设顶点坐标为（0, 0, h ）,
由柱坐标变换（正圆锥体V 在xOy 面投影区域D :
）.
则引力为
, 其中k 为引力系数.
的拐点?
,
因
则
6． 求下列函数的高阶偏导数:
（1）（2）
所有二阶偏导数； 所有二阶偏导数；
4． 问a 和b 为何值时, 点（1, 3）为曲线
【答案】由此得到方程组
5
．
设函数f （x ）和g （x ）在[a, b]上可积, 则
【答案】
, .
,
解得
. 由（1, 3）为该曲线的拐点知
,