2018年河南大学数学与统计学院908数学分析[专业硕士]考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若
【答案】已知. 因为
其中在x 1与x 2之间,
在y 1与y 2之间, 于是当
时有
, 取
,
, 即f （x , y ）在D 上一致连续.
,
与f y （x , y ）在矩形域D 上有界, 则f （x , y ）在D 上一致连续.
与
在D 上有界, 即
有
有点
2． 设二元函数f （x , y ）在正方形区域[0, 1]X[0, 1]上连续. 记J=[0, 1].
（1）试比较【答案】 （1
）
由y 的任意性可知（2）若显然
，
使
下面证明上面条件为充分条件，
在[0, 1]上连续,
，使
故
3． 设
【答案】
4． 证明:若
【答案】（1）若因
为
当且仅当a 为何值时反之也成立? 则对任意
存在N , 使得n>N时,
当
时, 也
有
于是
所以对于任
意
, 证明
与
，
有
的大小并证明之；
成立的（你认为最好的）充分条件.
时于任意的x 都成立，
则
（2）给出并证明使等式
（2）当且仅当证明如下:由于是
如果
时, 由知, 对任意数列
可推出存在N , 当满足
此时, 命题变为:
时,
但数列
即是发散的.
二、解答题
5． 判别下列广义积分的收敛性:
（1）
（2）
.
, 所以当p>1时, 取
由于此处当
,
故时, 因为
收敛.
, 所以当p —1<1时. 即当p<2时,
收敛. （p 是固定的）,
.
【答案】（1）此广义积分有瑕点x=0与当则有
时, 因为
, 有
以上两方面结合起来, 当1 当 时, 因为 , 有 , 所以只要取 , 则有 由于此处当 6． 设a>1, k>0, 求证 【答案】不妨设x1, 注意到 , 则有 7． 计算下列各题: （1）（2） 时, 因为 , 故 收敛. , 所以 发散. 以上两方面结合起来, 则原广义积分发散. 专注考研专业课13 年，提供海量考研优质文档！ （3）【答案】 （1） （2） （ 3） 8． 求下列函数的偏导数: （1）设f （x , y ）在R 上二阶连续可微, , 求（ 2）设 , 其中f （u , v ）具有二阶连续偏导数, 解得 对上式及 两边关于x 求导得 2 , 且 二阶可导, 求 【答案】（1）对f （x , 2x ） =x两边关于x 求导得