2018年暨南大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 从数字1，2, …，9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率.
【答案】记事件A 为“至少取到一次5”，事件B 为“至少取到一次偶数”，则所求概率为P （AB ）, 因为
所以
下表对一些不同的n ，给出P （AB ）的值:
表
从上表可以看出:P （AB ）是随着n 的增加而增加的，直至趋向于1, 这是符合人们直观感觉的.
2． 设总体
【答案】由于总体其均方误差为
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.
3． 设
是其样本，的矩估计和最大似然估计都是，它也是的相
下存在优于的估计.
，
现考虑形如
的估计类，
，所以
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为
其中
试问
是否服从大数定律？
【答案】因为
由柯西积分判别法知上述级数收敛，故
4． 设总体X 的概率密度为如下样本值:
求的矩的估计值和最大似然估计值. 【答案】因为所以（1） 令
, 所以的矩估计值为
（2）现在求最大似然估计值. 在给定的8个样本值中, 属于
的有5个, 属于
的有3个, 所以似然函数为
取自然对数得
两边对求导得
故
的最大似然估计值为
于是
,
其中
是未知参数, 利用总体X 的
存在，所以由辛钦大数定律知
服从大数定律.
5． 从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本这行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下:
若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同，问东、西两支矿脉含锌量的均值是否可以看作一样（取
）？
这是一个双侧检验问题，因而拒绝域为
【答案】由已知条件，待检验一对假设为
，由样本数据，算得
检验统计量
当作一样.
6． 设
记（1）
（2）
知,
且
的方差与
的协方差相互独立,
从而,
为来自总体
的简单随机样本
. 因此接受
东、西两支矿脉含锌量的均值可以看
为来自总体
求:
的简单随机样本, 为样本均值,
【答案】 （1）由题设
所以
（2）由协方差的定义:所以有
又因
独立, 所以
故
同理有
. 所以
因为
,