2017年湖南师范大学资源与环境科学学院602高等数学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 利用函数
【答案】先求函数
的三阶泰勒公式，计算
的近似值。
在点（1, 1）的三阶泰勒公式。
又
将以上各项代入三阶泰勒公式. 便得
因此
2． 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力。已知闸门上水的压强p 与水深h 存在函数关系, 且有P=9。8h
。若闸门高H=3m, 宽L=2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P 。
,
取
,
并记
【答案】在区间[0, 3]上插入, n-1
个分点
得到闸门所受水压力的近似值为
水压力为积分区间的分法和
为小区间的端点故
3． xOy 坐标面上的双曲线的方程.
【答案】以
周而生成的旋转曲面方程为
即
以
的旋转曲面方程为
即
4． 设向量的方向余弦分别满足（1）与坐标轴或坐标面的关系如何?
【答案】（1）由（2）由（3）由直于xOy 面.
5． 求级数
【答案】由
的和。
得
, 根据定积分的定义可知闸门所受的
, 由于被积函数连续, 而连续函数是可积的, 因此积分值与
的取法无关。为方便计算, 对区间[0, 3]进行n 等分, 并取
, 于是
分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面
代替双曲线方程
中的y ，得该双曲线绕x 轴旋转一
代替双曲线方程中的x ，得该双曲线绕y 轴旋转一周而生成
；（2）；（3），问这些向量
，知α=，故向量与x 轴垂直，平行于yOz 面.
，故向量垂直于x 轴和y 轴，即与z 轴平行，垂
知β=0，故向量与y 轴同向，垂直于xOz 面.
，知α=β=
将上式进行两次逐项求导，得
故
6． 已知动点M （x ，y ，z ）到xOy 平面的距离与点M 到点（1，﹣1，2）的距离相等，求点M 的轨迹的方程.
【答案】根据题意知
即 7． 用
函数表示下列积分，并指出这些积分的收敛范围：
，即
，
在n>1
（1）（2）（3）
【答案】（1）令时都收敛。
（2）令当p>-1时收敛。
（3）令当n>0时，当n<0时，故
8． 求下列函数的一阶和二阶偏导数：
。
为点M 的轨迹的方程.
，即，
，即，
当
时收敛。
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