2017年湖南师范大学物理与信息科学学院603高等数学之高等数学考研强化模拟题
● 摘要
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2017年湖南师范大学物理与信息科学学院603高等数学之高等数学考研强化模拟题（一） ... 2 2017年湖南师范大学物理与信息科学学院603高等数学之高等数学考研强化模拟题（二） ... 9 2017年湖南师范大学物理与信息科学学院603高等数学之高等数学考研强化模拟题（三） . 15 2017年湖南师范大学物理与信息科学学院603高等数学之高等数学考研强化模拟题（四） . 23 2017年湖南师范大学物理与信息科学学院603高等数学之高等数学考研强化模拟题（五） . 30
一、计算题
1． 设闭区域D 是由直线x+y=1，x=0，y=0所围成，求证
【答案】
令
依次与
应的闭区域
的边界（图）. 于是
，
，
则
，在此变换下，D 的边
界
对应。. 后者构成
平面上与D 对
图
又
因此有
2． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，
则
，求f （u ）的表达式。
【答案】设
，则
，则
由条件对方程
，可知进行求解，其通解为
，其中
将初始条件
为任意常数 代入，可得
解得
，故f （u ）的表达式为
满足
，
若
3． 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如图所示，当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。
图
【答案】以侧面的椭圆长轴为x 轴，短轴为y 轴设立坐标系，则该椭圆方程为
，
取y 为积分变量，则y 的变化范围为[-0.75, 0.75]，对该区间内任一小区间[y，y+dy]，该小区间相应的水深为0.75-y ，相应面积为
，得到该小区间相应的压力
因此压力为
4． 己知某曲线经过点（l ，l ），它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.
【答案】设（x ，y ）为曲线上的点，则曲线在该点处的切线方程为轴上的截距为
将上述方程与成
并依题意，有
可解得
5． 设函数f （x ）和g （x ）均在点x 0的某一邻域内有定义，f （x ）在x 0处可导，f （x 0）=0，g （x ）在x 0处连续，试讨论f （x ）g （x ）在x 0处的可导性。
【答案】由f （x ）在x 0处可导，且f （x 0）=0，则有
由g （x ）在x0处连续，则有故
即f （x ）g （x ）在x 0处可导，其导数为f’（x 0）g （x 0）。
6． 设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]内转过角度θ从而转角θ是t 的函数:θ=θ（t ）。如果旋转是匀速的，那么称刻t 0的角度?
【答案】在时间间隔[t0，t 0+at]内的平均角速度
在时刻t 0的角速度
为该物体旋转的角速度。如果旋转是非匀谏的，应假样确宁该物休存时
，
切线在纵
7． 求下列向量场A 沿闭曲线（从x 轴正向看依逆时针方向）的环流量：
（1）（2）
【答案】（1）的参数方程为
，为圆周（c 为常量）
，其中为圆周
；
。
t 从0变到2π，于是所求环流量为