2017年湖南师范大学资源与环境科学学院602高等数学考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求下列函数的反函数:
（l ）
。
分析函数存在反函数的前提条件为:
是单射. 本题中所给出的各函数易证均为单射，特别（1）、（4）、（5）、（6）中
的函数均为单 调函数，故都存在反函数。
【答案】（l ）由（2）由（3）由（4）由（5）由（6）由
2． 计算二重积分
【答案】
令
，得
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解得
解得:解得:
，即反函数为
。
。
，即反函数为
，即反函数为，即反函数为
。
，即反函数为
，即反函数为解得:
解得:
。
。 。
解得:
，其中区域D 由曲线
与极轴围成.
3． 讨论函数
【答案】
在分段点x=-1处，因为
所以x=-1为第一类间断点（跳跃间断点）。 在分断点x=1处，因为
所以x=l为第一类间断点（跳跃间断点）。
4． 从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。
【答案】设直角三角形的两直角边之长分别为求周长S 在作拉格朗日函数
令
条件下的条件极值。
则周长
的连续性，若有间断点，判断其类型。
解得。代入，得，于是是唯一可能的一切直
的极值点，根据问题性质可知这种最大周长的直角三角形一定存在，所以在斜边之长角三角形中，周长最大的是等腰直角三角形。
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5． 设函数f （t ）在内有连续导数，且满足
（1）求f （t ） （2）计算【答案】（1）在令（2）令
，则
，则
则
且P 、Q 有连续一阶导，则分，即
故
6． 已知曲线L 的方程为算曲线积分
【答案】由题意，假设参数方程
7． 求下列函数的最大值、最小值:
【答案】（l ）函数在令
, 得驻点
上可导, 且, 比较, 最小值为
，从到，起点为A （0，
，则
，0），终点为B （0，
，0）计
是某函数F （x , y ）的全微
是点
至
的任意光滑曲线。
两边同时对x 求导得
得函数的最大值为
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