2017年湖南师范大学物理与信息科学学院603高等数学之高等数学考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求下列欧拉方程的通解：
【答案】（1）令
2
（D +2D+1）y=0
即并记则原方程可化为
于是该方程的通解
即
该方程的特征方程为
故原方程的通解为
（2）
令
即
并
记
有根
则原方程可化
为
有根
即
故齐次
该方程对应齐次方程的特征方程为
方程的通解为
因
不是特征方程的根，故可
令
中并消去
于是得
即原方程的通解为
2． 求下列函数的最大值、最小值:
【答案】（l ）函数在令
, 得驻点
上可导, 且, 比较, 最小值为上可导, 且
得
即
是非齐次方程的特解。代
入
得函数的最大值为（2）函数在
（3）函数在令最小值为
3． 设积分
,
得驻点
上可导, 且,
比较
,
得函数的最大值为
,
其中试求
为连接点。
与
围成的平面区域D ，且围成D 的正向曲线为L ，则
4． 设生产某产评的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为，已知产销平衡，求: 价，单位:元; Q 是销量，单位:件）
（Ⅰ）该商品的边际利润。
（Ⅱ）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （Ⅲ）使得利润最大的定价P 。 【答案】（1）设利润为y ，则边际利润为利润增加20。
（3）令y ’=0，得Q=20000，
5． xOy 坐标面上的双曲线的方程.
【答案】以
周而生成的旋转曲面方程为
即
以
的旋转曲面方程为
的直线段，B 的抛物线段为连接A 、，
【答案】令
，（P 是单
。
（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20。其经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，
。
分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面
代替双曲线方程
中的y ，得该双曲线绕x 轴旋转一
代替双曲线方程中的x ，得该双曲线绕y 轴旋转一周而生成
即
6． 下列各题中，函数f （x ）和g （x ）是否相同? 为什么
?
【答案】（l ）不同，因为定义域不同。 （2）不同，因为对应法则不同，
（3）相同，因为定义域、对应法则均相同。 （4）不同，因为定义域不同。
7． 设a>1, 最小值。
【答案】由考察函数
, 得惟一驻点
, 在a>1时的最小值。令
得惟一驻点,
, 当
,
；当
时,
, 因此
为极小值, 也是
。
在
内的驻点为x （a ）。问a 为何值时, x （a ）最小? 并求出
最小值。
8． 求过点（3，0，﹣1）且与平面3x －7y ＋5z －12=0平行的平面方程.
【答案】所求平面与已知平面3x －7y ＋5z －12=0平行. 因此所求平面的法向量可取为n=（3，，设所求平面为 ﹣7，5）
3x －7y ＋5z ＋D=0 将点（3，0，﹣1）代入上式得D=﹣4. 故所求平面方程为 3x －7y ＋5z －4=0
9． 说明下列旋转曲面是怎样形成的：