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一、证明题

1． 设

【答案】由故

且满足即

求证

：

有下界，

又由则

的极限存在，并求出极限值.

存在，若

由广义极限的四则运算法则，有

由此可见

进一步由极限的四则运算法则，有

即得

即

上的连续函数，a 是任一实数，

证明E 是开集，F 是闭集. 【答案】对任一点存在

的某邻域

故E 为开集. 下证F 是闭集.

设且

是F 的任一聚点，则存在F 的异点列在连续，从而

可见

使

故f 为闭集.

上连续，且

则存

由

使当

因为f 在连续，从而由连续函数的保号性知，

时

即

从而

2． 设f 为定义在

3． 用有限覆盖定理证明根的存在定理，即设在

使得

证明:用反证法假设【答案】不妨

设

均有一个开覆盖.

让取遍

由

在

在闭区间

上的连续性

，

，它构成了将区间

使

得的覆盖，

可得一个开集

由有限覆盖定理，存在H 中有限个互不相交的开集

即

注意到k 是有限个，

所以

因此存在

使得

4． 设f (x ，y ) 在区域

其中

【答案】任

取

时，有

又由，f 对y 满足利普希茨条件，对上述

现取

则当

取时，

所以

在点

处连续，由点

则

则当

时，

3) 利用上题的递推公式计算：

【答案】1)

2)

在上每一点的函数值都同号，这与矛盾.

上对x 连续，对y 满足利普希茨条件：

为常数，试证明f 在G 上处处连续.

对固定

的

连续，于是对任

给

存

在

. 则当

时，有

的任意性知

在G 内处处连续.

5． 证明：1) 若

2) 若

因此

又

因此

3)(1) 利用题1) ，这时

故有

(2) 利用题1) ，这时

故有

(3) 利用题2) ，这时

故有

6．

设

为区间

【答案】因为得

又因为

即

根据闭区间上连续函数的介值定理，存在

上的连续函数，

且证明：

存在

使得

为区间上的连续函数，所以存在最大值与最小值，即存在M , m ，使

.

使得