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一、证明题

1． 设

是曲面

的非奇异点，F 在：

可微，且为n 次齐次函数. 证明：

【答案】由于F 为n 次齐次函数，且_曲面在处的切平面方程为

即

而由式知

故

2． 证明

：

于区间

(其中由于

在

) 一致连续，但是于(0，1) 内不一致连续。 内连续，

从而在

内一致连续，

则在区间

由

知

曲

面

在

处

的

切

平

面

方

程

为

. 故有

此曲面在处的切平面方程为

【答案】(1)

由于

内也一致连续。 (2) 利用定义，取

存在

取尽管有

(为定值)

但是

3． 设为连续函数，

，从而函数在区间(0，1) 内不一致连续。

与

证明：

均为可导函数，且可实行复合

【答案】取

且

定义域内一点a , 则令则

于是

4． 设f 在

【答案】设

上连续

证明：存在

中最小者为

最大者为

使得

则有

若若

理，可以得知存在

5． 举例说明：若级数

此级数仍可能不收敛. 【答案】如级数

若P 为某一个固定的数，则

但级数

6． 设

在

发散.

上可积，且在点

处连续. 设

证明

【答案】因

为

又因为

在

在

上可积，所

以

当

因此，欲证结论成立，只需证

为此，将积分分为三段进行估计：

而

或.

对

则取在区间使得

对每个固定的p 满足条件

就能满足题中要求.

上应用连续函数的介值性定

在上有界，设界

为

时，有

即

处连续，所以

通过计算易知

综上可知，原结论成立.

二、解答题

7． 设

为连续函数

为任意开集

为任意闭集，试问，

是否必为开集？

是否必为闭集？

【答案】不一定，反例： (1) 对于连续函数(2) 对于连续函数 8． 设

【答案】记

则，

试证：当

时，显然

在

为开集，

但

为开集，但

不是开集。

不是闭集.

上连续，所以可在积分号下求导，即

令

从

当x = 0时

，

9． 设有

中点列

求

【答案】因为

所以

10．计算第二型曲线积分曲线.

【答案】由题意可令

则

则

(C 为常数) ，

所以

故

因此，

当

时

，

其中L 是从A (0，1) 沿到的一段