2017年东北大学理学院618分析基础考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
令(1
) (2)
求证：
上可导，且导数只在
(0，1) 上可导，且导数只在
且
处不连续； 处不连续. 听以由连续性定理知.
【答案】(1) 因为又当
时，
因此从而
在上一致收敛. 于是函数
上可导，且
又因为上可导，导数在点处不连续，所以
在(2) 不连续.
2． 设
上可导，且导数只在点，
故由(1) 知
处不连续.
1) 上可导，在(0，且导数只在点
处
可以确定连续可微隐函数
试证：
【答案】因为
所以
3． 若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区
域
【答案】
假设存在
使得对一切
故必在D 上
4． 在[0，1]上定义函数列
证明级数【答案】由
在[0, 1]上一致收敛，但它不存在优级数. 定义可得
使得
，
有
不妨设
则
上
有
由连续函数的保号性知：
存在
，
与已知
矛盾.
从
而时，
有
及
有
恒成立. 所以对于任
意
取
当n>N时，对任意的
由柯两准则知，级数而正项级数优级数
5． 设
试证： (1) 存在(2) 存在
使. 使
在[0，1]上一致收敛. 若
发散，
这与
存在优级数. 特别取，有
不存在
发散.
所以级数为优级数矛盾，因此级数
在上一阶可导，在内二阶可导，
【答案】(1) 依题意，存在满足使得
故存在
(2)
令
使注意到
因为
. 所以根据
罗尔
定理，存在再令
使得
6． 设f 为
并改写.
即得
上的递增函数. 证明
和. ) . 因为f
为
使得
即
②
同理可证.
，令故
都存在，且
上的增函数，
所以对
上有上确界，令则
并当
.
有F 时，有
使得
则因为
【答案】
①取
•即f (x ) 在
是对任给的
存在
上有上界. 由确界原理知f (x ) 在
二、解答题
7． 按柯西收敛准则叙述数列
⑴
【答案】
数列
使得
（1）取故数列（2）取
对任意的正整数N ，取
发散.
对任意的正整数N , 取
则有
并且
故数列（3）取
发散.
对任意的正整数N , 取
则有
故数列
发散.
8． 讨论广义重积分
的敛散性，其中
当积分收敛时，求积分的值.
发散的充要条件，并用它证明下列数列
（3）
是发散的：
（2）
发散的充要条件是：
存在对任意的正整数N ，
都存在正整数
则有
并且