2017年东北电力大学理学院731数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数明：(1) 存在
【答案】(1) 令
在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0, 1) 内可微，且
使得
(2) 存在则
函数函数
在闭区间[0, 1]上连续， 在闭区间[0，1]上连续.
使得
(2) 令
显然
在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0，1) 内可微. 由于
且由(1) 的结论知，存在根据罗尔中值定理，存在由于
所以有
即
2． 若对任何充分小的
则在
且
上连续. 能否由此推出f 在内不连续，则必有某一点
于是
.. 内连续.
是f 的间断点，令
是f 在区间
上的
使得使得
即
即存在
使得
使得
证
由连续函数的零点存在定理知，存在
【答案】能. 用反证法. 假如f 在
一个间断点. 这与题设矛盾，故f 在内连续.
3． 证明：
若
在上可导，
且
【答案】
对
有，
则
由于
有
已知
因为
4． 设
【答案】因为
在点
故当左连续，所以
在原点的某邻域内连续，且
而
所以
5． 证明：若
由致 密性定理，存在
不存在，这与
6． 证明：若f 在
【答案】
设
这与题设矛盾. 故
的子列
从
的左方或右方收敛于
但
不收敛，即
与
在
上只有第一类间断点，则在
在
上有界.
使
时有
即证明
从而
在
上连续，从而
在
上有界，B 卩
有
于是
【答案】
假设
上无界，则对每一个自然数n ,
存在互异点列
只有第一类间断点矛盾. 上连续，且对任何
设即f
在
上恒正.
则f 在由题设
知时同理可证f (x ) 恒负.
上恒正或恒负.
假
如
使得
那
么
异号，由根的存在定理知，在区间内至少存在一点
二、解答题
7． 计算下列向量场A 的散度和旋度：
【答案】
(2) 同样可证
8． 求下列函数的高阶微分：
【答案】（1）
（2）