2017年东北电力大学理学院731数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：闭区间
设
不妨设
的全体聚点的集合是
则
本身。
中有无穷多个实数，故a 是
则
中的无穷多个点，故x 0为
则
即闭区间
的全体聚点的集合是
本身。
的一个聚点. 总之
即
不
是
的聚点，
即
b 也是的一个聚点. 同理，
【答案】设[a，b]的全体聚点的集合是M 。
由实数集的稠密性知，集合的一个聚点。
设
不妨设
故x 0的任意邻域内都含有设
故综上所述，
2． 证明：场
【答案】对空间任一点
令
是有势场并求其势函数。
都有
故A 是有势场。 由
故其势函数为：
3． 设
【答案】
则.
证明f (x ，y ) 在D 上连续，但不一致连续.
由极限的四则运算法则知
所以f (x ，y ) 在点在D 中取两个点列
连续，从而f (x , y) 在D 上连续.
则
但
所以f (x , y) 在D 上不一致连续.
4． 设
证明:【答案】记
为
的代数余子式
于是
因
对一切的
5． 设
【答案】设
并且对于任何
则有
都成立. 所以
有
常数，证明
对上式两边同时求导，得
即
6． 设f (x ) 在
(1)
时，
于是对两边取转置又得上连续，满足：
由于f (x ) 在S 上连续，根据连续函数的性质，f (x ) 必在
和最小
值
若记
使得
(2) 对任意x 和正常数c , 求证：存在S 上
的
和
【答案】考虑有界闭集
点分别取到它在S 上的最大
值
那么
所以
二、解答题
7． 设曲面S 由方程
【答案】在球坐标变换
：
其参数方程为
通过计算易知，
由此得
由曲面的对称性，只需求第一卦限部分的面积即可.
而此时
所以
故S 的面积为
8． 应用格林公式计算曲线积分一段.
【答案】由于原积分曲线不是封闭曲线，不能应用格林公式，加上从线段
则有
其中D 为封闭曲线
所围成的区域，由极坐标变换，
即原积分
9． 设f (x , y , z ) 在
则⑴记
所确定，求曲面S 的面积.
之下，曲面S 的方程
是
并且由曲面方程知
其中L 为上半圆周从到的的直
上连续. 令
在[a，b]上连续.
【答案】分成两步来证.