2017年电子科技大学数学科学学院601数学分析之数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 应用欧拉公式与棣莫弗公式证明：
【答案】将又因为
比较上面两式的实部与虚部可得
2． 证明下述命题：
(1) 设为(2) 设为要条件为
【答案】(1) 取故(2) 由于在
收敛，从而
上
上的非负连续函数.
若上的连续可微函数，且当收敛.
则由收敛.
均为连续函数，任给
有
设即
收敛，由收敛.
又若由于
的单调性可知
，
收敛，
则对任给
存在
从而可知
使得当使
于是令
故有
第 2 页，共 33 页
代入欧拉公式，得
收敛，则时，
也收敛.
收敛的充
递减地趋于0, 则
收敛，可知
也收敛，而
存在，
时，
有
不变号，故由积分中值定理知，存在
_可知
所以有
3． 设
存在，即
收敛. 劼
收敛的充要条件是为无穷小数列.
又因为
为无
时，
有为无穷小数列.
在I 上一致连续.
使得
使得当
^
再由时，
有
因此，当n>N时
，
收敛.
为无穷小数列，为有界数列，证明：存在正整数N ,
当所以
故
【答案】因为有界数列，故存在M>0, 使得对一切正整数n ，有
穷小数列，
所以对任给
4． 设
是区间I 上有界且一致连续的函数，求证：
在区间I 上有界，则存在
存在
的一致连续性得到，
对于任意
【答案】由于
从而
所以
在区间I 上一致连续.
二、计算题
5． 已知
【答案】首先证明
令
代入①的左端得
故①成立. 又因为
根据迫敛性可知，
所以函数
第 3 页，共 33 页
试讨论函数，在原点(0, 0) 处是否连续？
在原点处连续.
6． 求函数
【答案】首先有
在内的极值.
令得稳定点又
从而
因为
故
为负定矩阵，所以f 在内点
处取得极大值1.
不一致连续的A
7． 设为正实数，确定使在的范围（要叙述过程）.
【答案】当当可. 由
时，在事实上，当
时，显然在时，因为
在
上一致连续的的范围以及使在
上一致连续.
上一致连续，所以只要证明它在
上不一致连续.
上一致连续即
上有界可知，
在尽管
不一致连续. 当
时，取但是
故在
8． 研究函数
【答案】设由于当
时
的连续性及可微性.
且
收敛，故
在
上一致收敛，
上不一致连续.
第 4 页，共 33 页