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一、计算题

1． 设

是从正态总体N （10, 9）中抽取的样本, 试求样本均值

的标准差.

【答案】来自正态分布的样本均值仍服从正态分布, 均值保持不变, 方差为原来方差的1/n, 此 , 的标准差为处总体方差为9, 样本容量为8, 因而

2． 将12个球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3个球的概率.

【答案】将12个球随意放入3个盒子中，所有可能结果共有

个，而事件“第一个盒子中有

种可能；第二

3个球”可分两步来考虑：第一步，12个球中任取3个放在第一个盒子中，这有

步，将余下的9个球随意放入第二个和第三个盒子中，这有29种可能，于是所求概率为

3． 设

是来自均匀分布

与

的一个样本，寻求α与β的无偏估计. 可分别用来估计

但它们都不是无偏估计，

【答案】容易看出，这是因为均匀分布

的分布函数与密度函数分别为

由此可导出次序统计量与的密度函数分别为

从而可分别求出它们的期望

这表明：

与

不是α与β的无偏估计，但做恰当修正后，可获得α与β的无偏估计. 把（*）

或

再使用加减消去法，即可得

的无偏估计分别为

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与（**）两式相加与相减可得

4． 口袋中有10个球，分别标有号码1到10, 现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：

（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率.

【答案】从10个球中任取4个，共有10分成三组：

事件A 发生必须从第2组中取1个、从第3组中取3个，这共有事件B 发生必须从第2组中取1个、从第1组中取3个，这共有

解法二 记X 为取出球的最小号码，Y 为取出球的最大号码，则

种取法，故种取法，故

种等可能取法，这是分母，而分子有两种解法.

解法一 记A=“最小号码为5”，B=“最大号码为5”.为求事件A 与B 的概率，可将球号1到

这里用到概率的减法性质，详见1.3中性质1.3.4.

5． 设随机变量X 服从正态分布化的？

【答案】因为

所以随着

概率

是不变的.

Y

的概率密度为

的増大，

，试问：随着的增大，概率

是如何变

6． 设随机变量x 与y 相互独立，x 的概率分布为

（I

）求

（II ）求X 的概率密度f （z ）. 【答案】（I ）

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，则其值为非零时z 的取值区间为[-1, 2]. （II ）设z 的分布函数为F （z ）当z<-1时，F （z ）=0； 当z>2时，F （z ）=0；

当

时，

所以z 的分布密度函数为

7． 求掷n 颗骰子出现点数之和的数学期望与方差.

【答案】记为第i 颗骰子出现的点数, 列为

表

所以

由此得

8． 设离散随机变量X 的分布列如下, 试求X 的特征函数

表

【答案】

则

独立同分布, 其共同的分布

二、证明题

9． 若

【答案】由

试证：

得

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