2017年淮北师范大学实变函数、概率论与数理统计(同等学力加试)之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求
当
时,
由此得
2． 某地区漏缴税款的比率X 服从参数a=2，b=9的贝塔分布，试求此比率小于10%的概率及平均漏缴税款的比率.
【答案】贝塔分布Be （2，9）的密度函数为
因为
所以
3． 设二维随机变量
【答案】
的非零区域与
的交集为图阴影部分, 所以
的联合密度函数为
,
试求因此
. 所以
【答案】先求条件密度函数
图
4． 设随机变量X 服从正态分布N （10，9），试求
【答案】一般正态分布
所以
5． 设总体概率函数如下，
（1）（2）
【答案】（1）似然函数为
是样本，试求未知参数的最大似然估计.
其对数似然函数为
将InL （θ）关于θ求导并令其为0即得到似然方程
解之得
由于
所以
的最大似然估计.
其对数似然函数为
将
关于求导并令其为0得到似然方程
解之可得
和
间满足关系式
：
的p 分位数与标准正态分布的p 分位数
（2）似然函数为
由于这说明的最大似然估计.
6． 设随机变量U 服从（-2, 2）上的均匀分布, 定义X 和Y 如下:
试求
【答案】先求X+Y的分布列. 因为X+Y的可能取值是-2, 0, 2. 所以
综上可得X+Y的分布列
表
此分布对称, 所以
从而得
7． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求E （Y/X）. 【答案】
8． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的小学学生平均每周看8h 电视. ”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字. 为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时间（
）？
【答案】由于本题中样本量较大，可认为样本均值服从正态分布，依题意，需要建立的原假设和备择假设为
若取
则
拒绝域为
由样本观测值计算得：
因而拒绝原假设，认为这位校长的看法是对的.
样本标准差为s=2h.问是否可以认为这位校长的看法是对的
二、证明题