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一、计算题

1． 在某保险种类中，一次关于2008年的索赔数额（单位：元）的随机抽样为（按升序排列）：

己知2007年的索赔数额的中位数为5063元. 是否2008年索赔的中位数比前一年有所变化？请用双边符号检验方法检验，求检验的p 值，并写出结论.

【答案】

原假设

检验的P 值为

p 值小于0.05，所以拒绝原假设. 从而认为2008年的索赔中位数与前一年相比有变化.

2． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与峰度.

【答案】分几步进行.

（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 按定义

显然

而当

时有

（2）由此递推公式可导出前四阶原点矩

.

（3）再计算前四阶中心矩；

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备择假设

作差

得到检验统计量值为

（4）最后计算偏度卢；与峰度卢。

所以泊松分布是正偏分布

，愈小偏度愈大

.

所以泊松分布比标准正态分布更尖峭一些，A 愈小分布愈尖峭.

3． 设总体X 的概率密度为_

是来自总体X 的简单随机样本

（I ）求参数的矩估计量； （II ）求参数的最大似然估计量。 【答案】⑴由

令（II

）设

得参数的矩估计量为

其中参数

未知

，

为样本观测值，则似然函数为

于是

令

得

故参数

的最大似然估计量为估计法。

4． 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且

【答案】因为

所以

【评注】本题为基础题型，要熟练掌握总体未知参数的两种点估计法：矩估计法和最大似然

试求

5． 有3个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球. 现任取一个盒子，从中任取3个球. 以X 表示所取到的白球数.

（1）试求X 的概率分布列；

（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少？

【答案】（1）记为“取到第i 个盒子”，i=l，2，3. 由全概率公式得

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将以上计算结果列表为

表

（2）

6． 某新产品在未来市场上的占有率X 是仅在区间（0，1）上取值的随机变量，它的密度函数为

试求平均市场占有率.

【答案】这里平均市场占有率就是E （X ）

.

7． 保险公司的某险种规定：如果某个事件A 在一年内发生了，则保险公司应付给投保户金额a 元，而事件A 在一年内发生的概率为p. 如果保险公司向投保户收取的保费为ka ，则问k 为多少，才能使保险公司期望收益达到a 的10%?

【答案】记X 为保险公司的收益，则X 的分布列为

表

1

所以保险公司的期望收益

为

中解得

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由即

从