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一、计算题

1． 设随机变量X 服从区间（0，2）上的均匀分布，（1）求

【答案】X 的密度函数为

（1）其反函数为

的可能取值区间为（0，4）. 因为

所以

在区间（0，2）上为严格单调增函数，的密度函数为

（2）

2． 设随机变量X 的分布函数如下，试求E （X ）

.

的密度函数；（2）

【答案】X 的密度函数（如图）为

图

所以

3． 设X 是只取自然数为值的离散随机变量. 若X 的分布具有元记忆性，即对任意自然数n 与m ，都有

【答案】由无记忆性知

或

若把n 换成n-1仍有

上两式相减可得

若取n=m=l，并设P （X=l）=p，则有

若取n=2，m=l，可得

若令

则用数学归纳法可推得

这表明X 的分布就是几何分布.

4． 设

是来自均匀分布

的样本, 试给出一个充分统计量. 则X 的分布一定是几何分布.

【答案】总体的密度函数为

于是样本的联合密度函数为

即

令

, 并取

由因子分解定理,

为参数（

）的充分统计最.

的正态分布，已知96其中未知，但由题设条件

即

5． 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似地服从

【答案】记X 为考生的外语成绩，由题设条件知

知

分以上的人数占总数的2.3%，试求考生的成绩在60分至84分之间的概率.

因此查表知

由此解得

从而得

由此所求概率为

6． 假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品. 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差.

【答案】记X 为取到合格品之前，已取出的不合格品数，则X 的分布列为

表

由此得

7． 在一个有n 个人参加的晚会上, 每个人带了一件礼物, 且假定各人带的礼物都不相同. 晚会期间各人从放在一起的n 件礼物中随机抽取一件, 试求抽中自己礼品的人数X 的均值和方差.

【答案】记

则由此得

又因为但因为

间不独立, 所以

为计算所以

因此

由此得

是同分布的, 但不独立. 其共同分布为

所以

先给出的分布列, 注意到的可能取值为0, 1. 且