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一、选择题

1． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知因此

2． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2设二次型矩阵A , 则

是不定二次型，故选B.

线性相关，所以线性相关，故选A.

是（ ）二次型. 于是

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

则

线性无关，

均为n 维列向量，A 是

线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）.

线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

由于因此否定A , C, A中有二阶主子式

从而否定D , 故选B. 3． 设是3维向量空间

则由基到基的一组基,

的过渡矩阵为（ ）.

A.

B.

C.

D.

【答案】A

4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

秩A , 则线性方程组（ A. 有无穷多解 B. 必有惟一解

C.

D. 必有非零解

【答案】D 【解析】阶方阵，且秩

秩

5． 设A 是

矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. A. 如果则. . 有非零解 B. 如果秩

则

有非零解

C. 如果A 有阶子式不为零，则，有惟一解 D. 如果A 有n 阶子式不为零，则只有零解 【答案】D 【解析】未知量个数

有零解.

二、分析计算题

.

）

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6．

设V 是n 维欧氏空间, 内积记为

证明:

【答案】证法1

则

, 又设T 是V 的一个正交变换, 记

. , 且

,

使得

,

所以

即所以证法2

由此可知

则

是直和. 又结合

是直和知, 又任取

则

. 所以

（E 为恒等变换） 从而

（因为特别取

有

所以）故即

-又若, 则由, 所以

, 有,

知

即

故有

综上可知,

从而

7．

设2, 1, —1为三阶方阵A 的特征值, 且对应的特征向量分别为以下三个向量, 求A.

【答案】因为A 是三阶方阵且三个特征值互异, 故其所对应的 三个特征向量线性无关. 现以其作列得可逆方阵

且

并且A 可对角化

, 即有

从而

8． 设n 阶方阵对角上元素为1和0.

【答案】由于

故A 满足

因而A 的最小多项式整除

且证明:存在可逆方阵P , 使与皆为对角矩阵且主

的初等