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一、分析计算题

1． 设

为方程

的三个根，使

（1）

的所有实数n ，并对每个这样的口，求出相应的【答案】令因为

，代入原方程得

（2） （3）

为（2）的三个根. 于是

（4）

在代数中有公式

（5）

在（5）中令

,

（1）当得

所以

时，

则时，

. 由于

为原方程的根，将

由此可得

（2）

当由此可得（3）当这时有

2． 设A 为n 阶方阵,

【答案】 （1）对所以

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为原方程的三个根，所以

并注意（4）式，那么（1）式变为

代入方程，得 解之，

代入原方程，可解

得

. 所

以

时，则

代入方程，可求得

且

其中

为A 的伴随矩阵,

为n 阶单位矩阵.

（1）求A 的一个零化多项式; （2）求A 的最小多项式

两边左乘A , 移项整理得

（3）求A 的若当标准形.

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是A

的一个零化多项式.

（2）由（1）知, 所求最小多项式

或

或 则有

或

此均与

相矛盾. 所以

如

是

的因式. 所以

只能为

为一次, 即

（3）由于A 的最小多项式与特征多项式不计重数时根相同, 由（2）得A 的特征值为3和2,

又A 所有特征值之积为

2. 可见A 为3阶方阵, 其不变因子为

所以A

的若当标准形为

3． 求下列矩阵的最小多项式

（1）

所以A 有且仅有另外一个特征值3. 即A 的所有特征值为3, 3,

（2）

【答案】 （1

）以A 记题目所设的矩阵. 它的特征多项式为

A 的最小多项式是故A 的最小多项式为

.

的因式. 现计算得到

（2）仍以A 记题目所设的矩阵. 它的特征多项式为

第

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A 的最小多项式是

的因式，

现计算出

. 故最小多项式为 是同构映射当且仅当

反之, 若上式成立, 则取从而为同构映射

.

5． 设

其中

求初等行变换:

的维数, 并求其一基.

的一个极大无关组

, 可以此五个向量为列作矩阵A , 并对A 施行

【答案】为求

与

分别得

4． 设是数域

K 上线性空间V 到的一个双射. 证明:

【答案】若是同构映射, 则

由于

为其一基.

6． 计算n 阶行列式

且由B

知, 第2、3、4列线性无关, 是极大无关组, 故

的维数为3且

【答案】由于

现在用第二数学归纳法来证明. 当按最后一行展开得

因而猜想

①

时结论成立. 归纳假设结论列

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都成立，再证n 时，对