2018年湖南大学信息科学与工程学院813高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设W 是定义在闭区间函数
定义实数 数；
（2）证明:W 不是有限维向量空间.
【答案】（1） （i ）首先可证W 关于加法封闭和数乘封闭
.
那
么
再验证加法应满足的4条算律:
规定零函数如下:
则
规定则
这4条中, 这里只证⑥式（③④⑤同理可证）
最后验证数乘应满足的4条算律:
⑦
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上所有实函数的集合, 在W 上定义加法为:对
① ②
为
乘函数为
的负向量是什么函
（1）证明:W 是实数域R 上的向量空量；并指出什么函数是零向量;
和仍为定义在闭区
间
上的实函数
.
③
④
的负向量如下:
⑤
⑥
也只证⑩式（⑦⑧⑨同理可证）
由⑪, ⑫即证⑩式.
综上即证W 是R 上向量空间, 零向量是零函数, 即
⑧
⑨
⑩
⑪
⑫
f 的负向量为:
（2）下证
即存在任意多个线性无关的向量, 令
那么可证向量空间.
2． 给定两个四维向量作为它的前两个列向量.
【答案】令
得线性方程组
解得一般解为
取基础解系
则
是
的基. 正交化, 得
再单位化得
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线性无关, 由n 可任意大, . 即W 不是有限维实
. 求作一个4阶正交矩阵Q , 以
则
是w 的标准正交基
.
则正交矩阵为所求.
3
． 设V 是数域P 上n 维线性空间. 证明:V 的与全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换.
【答案】取V 的一组基，线性变换和它在该基下的矩阵成一一对应. 且全体线性变换对应到全体n 级方阵. 设
在该基下矩阵为A , 任一线性变换
.
由此知
设在该基下矩阵为B.
的充要条件是
换是数乘变换.
4． [1]求复数域上线性空间V 的线性变换
的特征值与特征向量，已知
在一组基下的矩阵为:
与全体线性变换都可交换的充要条件是A
与全体n
级方阵都可交换.
由第四章习题7
的（3
），A 是数量矩阵. 因此与全体线性变换都可交换的线性变
[2]在题[1]中哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形？在可以化成对角形的情况，写出相应的基变换的过渡矩阵T , 并验算
【答案】 [1]（1）
故A 的特征值为7，-2. 求特征向量. 对
，相应的齐次线性方程组为
它的基础解系为（1, 1）于是
的属于特征值7的全部特征向量为
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是V 的