2018年湖南大学经济与贸易学院813高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 已知4阶方阵
其中
线性无关
，
则由
，如果
得
将由
代入上式，整理后得
线性无关，知
解此方程组得
k 为任意常数. 解法2:由向量.
由
知
为齐次线性方程
的一个解，所以其通解为
为任意常数.
再由一个特解，于是 2． 设
其中【答案】将
正交化得
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均为4维列向量，
求线性方程组
. 的通解.
【答案】解法1:令
线性无关及A 的秩为3, 因此知，的基础解系中只包含一个
（1, 1, 1, 1）为非齐次线性方程组
的通解为
为任意常数.
是五维欧氏空间V 的一组标准正交基，
，求
的一组标准正交基.
，
的
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再单位化，即得
的一组标准正交基:
3
． 设
是数域P 中互不相同的数
，
是数域中任一组给定的数
，用克
使
【答案】
设数域P 上满足条件
将
代入
得
看成
的线性方程组. 未知量与方程的个数都等于n , 其系数行列式为
次多项式
拉默法则证明:存在惟一的数域P 上的多项式
这是一个范德蒙德行列式. 因为 4． 设
（1）计算
为正定矩阵，其中其中
分别为m
阶、n
阶对称矩阵，c 为
是否为正定矩阵，并证明你的结论. 所以有
（2）矩阵
是正定矩阵.
合同于矩阵
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各不相同, 所以
存在且惟一.
根据克拉默法则,
有解且惟一. 所以满足题设条件的多项式
矩阵.
（2）利用（
I ）的结果判断；【答案】 （1）因
由（1）的结果可知，矩阵
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又D 为正定矩阵，可知M 为正定矩阵，从
而
令
有
即
5． 设
故
为正定矩阵.
对称. 对任意
的
为实数域R 上n 元列空间, A 为n 阶实对称方阵. 问:
的子空间？维数为何？
显然; 又任取
则
是否作成【答案】设
①若A 为半正定, 则存在实方阵B 使下先证
但由为实矩阵, 故必有从而又有
即
. 故
但
是
的解空间, 维数为n-r. 因此, W 作成子空间, 维数是
②若A 为半负定, 则是半正定, 又显然
故由①知, W 是子空间, 维数仍为
②若A 是不定的, 则存在实可逆方阵C 使令取则得同理, 取但显然
间.
6． 在中定义一个双线性函数
（1）给定的一组基
求
在这组基下的度量矩阵；
其中
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从而得
其余从而
其余
即取相应的.
则得相应的
也属于W.
即
为
故此时W 不作成子空
对
（2）另取一组基