2017年天津工业大学理学院817高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设曲线积分条平面曲线，求：
（1）可微函数（2）求沿L 从原点
。已知到点
的曲线积分。
。
，其中L 为任意一
【答案】（1）由于任意平面闭曲线的曲线积分都有，即曲线与积分路径无关。
，即
则等式两边x 的系数及不含x 的项应该相等，即
在①式两边对y 求导，并将②代入得
又
又由①式得，（2）由于
，则方程③的特解为
。
，故曲线积分与路径无关，取点
，沿折线
2． 计算
去的方向为逆时针方向。
【答案】记球面
的外侧被所围的部分为
由斯托克斯公式得
，于是
的单位法向量为
，其中为曲线
，从Ox 轴正向看
积分得
。
易知于是
圆心，为半径的圆域，其圆心横坐标为
且面积
关于zOx 面对称且xy+yz是关于y 的奇函数，故有
。
为
，其中D xy 是zOy 面上以，于是
3． 求圆盘
绕y 轴旋转而成的旋转体的体积。
绕y 轴旋转所得
绕y 轴旋转所得的立体，因此
【答案】这是一个圆环面，可以看作由图形的立体减去由图形
4． 试举出具有以下性质的函数f （x ）的例子：
是f （x ）的所有间断点，且它们都是无穷间断点。
【答案】设
5． 求极限
。
，显然f （x ）具有所要求的性质。
【答案】
6． 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置.
A （3, 4, 0），B （0，4，3），C （3, 0, 0），D （0，﹣1, 0）
【答案】在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零. 比如xOy 面上的点的坐标为（为（0，
，
）.
，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，
，0），z 轴上点的坐标为（0，0，
）.
，
，0），xOz 面上的点的坐标为（
，0，
，yOz 面上的点的坐标）
在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为 （
A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.
7． 下列周期函数f （x ）的周期为2π, 试将f （x ）展开成傅里叶级数，如果f （x ）在上
的表达式为：
【答案】（1）
由于
是奇函数，故
因为f （x ）满足收敛定理的条件且在
内连续，故
（2）
故