2017年天津工业大学理学院817高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设函数f （x ）在数集X 上有定义，试解：函数f （x ）在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界 又有下界。
【答案】设f （x ）在X 上有界，即存在M>0，使得
故
即f （x ）在X 上有上界M ，下界-M. 。 反之，设f （x ）在X 上有上界K l ，下界K 2，即
，取
，则有
，即f （x ）在X 上有
界。
2． 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为需求函数分 别为
总成本函数为
试问:厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大? 最大总利润为多少? 【答案】解法一:总收入函数为
总利润函数为
由极值的必要条件，得方程组
和，销售量分别为和，
解此方程组，得。
时，
由问题的实际意义可知，厂家获得总利润最大的市场售价必定存在，故当厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为
解法二:两个市场的价格函数分别为
总收入函数为
总利润函数为
由极值的必要条件，得方程组
解此方程组得
由问题的实际意义可知，当大，其最大总利润为
3． 利用导数验证下列等式:
。
，即
时，厂家所获得的总利润最
【答案】
4． 把积
分
表为极坐标形式的二次积分，其中积分区
域。
【答案】积分区域D 如图所示。抛物线y=x的极坐标方程为坐标方程为
，用射线
和
将D 分成
三部分
2
，直线y=1的极
图
因此
5． 求螺旋线
【答案】
点（a ，0, 0）所对应的参数于是切线方程为
在点
处的切线及法平面方程。
，故曲线在给定点的切向量
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