2018年河海大学理学院616数学分析之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明:【答案】因为又因为对上述任给的
从而对任给的从而对上述只需取
存在
当
存在
使当
时, 就有
时, 有
使当
. 时, 有
且在
附近有
故 2． 设
, 证明:
【答案】原不等式等价于
取的凸函数. 若记
即
亦即
3． 求证含参量广义积分
【答案】任取（1）当a>0时, 因为（2）当a=0时,
且充分小, 使得
的任何有界闭子区间上一致收敛.
的有界闭子区间[a, b] （a 收敛, 所以广义积分 当B>A>0时, 有 第 2 页，共 26 页 , 则由 , 由凸函数的性质 f x ）可知, （是上 在[a, b]上一致收敛. ①若 ②若故当 则 因为广义积分时, 即 时, 关于都有时, 收敛, 所以存 , 当 时 所以广义积分 在[0, b] 综合①, ②讨论, 当 上一致收敛. 由（1） （2）可知, 广义积 4． 设上单调不减 . 且对任何 的任何有界闭区间上一致收敛. , 求证:f （x ）在（a , b ） 【答案】为了叙述方便, 引入一个算子D , 满足: 易知, 若设函数答:选取m 满足由由 的连续性知A 非空, 取 的定义知, 当 时, 成立, 那么 在, 对, 这与 上单调不减. 丨在 在 上非单调不减, 则存在<上应用引理, 知存在, 矛盾, 所以则得. 在 上单调不减. 在 上单调不减. , 即证得 , 可导, 则 满足 则存在 考虑如下集合 则 使得 先证明一个十分有用的引理: 又由点集A 的定义知上确界是极限点, 因此存在令 则 及且 当n 充分大时, 有作由条件知可以验证满足使得 对任意 用反证法, 假若 由下极限的最小值性, 不难推出 二、解答题 5． 求极限 【答案】先求 为此令 , 取对数得lny=xlnx.而 第 3 页，共 26 页 故 再令 , 则 而 由于 和 所以式（1）的极限等于0, 从而原极限=1. 6． 设f （x ）是周期为 的连续函数，且其傅里叶级数 处处收敛，求证这个傅里叶级数处处收敛到f （x ）. 【答案】设 由条件知，利用极限的性质，得 由费耶定理，知, 一致收敛于f （x ）所以， 故收敛于f （x ）. 第 4 页，共 26 页 1） （