2018年湖南科技大学数学与计算科学学院612数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为定义在区间U , b）内的任一函数, 记内一致收敛于f
【答案】因为
故对任意
从而 2． 设
【答案】根据题意可知
又
所以从而设
单调递增有上界
由单调有界定理知极限存在.
两边取极限
得
解
得
即
证明:极限
存在并求之.
取
, 当n>N时, 对任意
, 均有
在（a , b ）内一致收敛于f
证明函数列
在（a , b）
二、解答题
3． 对n 次多项式进行因式分解
从某种意义上说, 这也是一个反函数问题, 因为多项式的每个系数都是它的, n 个根的已知函数, 即
要得到用系数表示的根, 即
试对n=2与n=3两种情况, 证明:当方程
无重根时, 函数组①存在反函数组②.
因为
无重根, 所以
所以由定理可知函数组①存在反函数组②. （2）当n=3时, 由于
所以
又
【答案】（1）当n=2时, 由韦达定理（根与系数的关系）有
所以由定理可知函数组①存在反函数组②. 4． 设
’
求
.
【答案】方法一作变量代换t=x—2, 则
方法二因为
所以
5． 设
试求【答案】当
时, 由
知
当
时, 有
6． 设V 是R 3中有界区域, 其体积为1/2, V 关于平面x=l对称, V 的边界是光滑闭曲面外向法矢与正x 轴的夹角, 求
【答案】由高斯公式
令
由于V 关于面x=l对称，则对应的V 关于面
而平移变换不改变立体的体积. 所以
7． 求
【答案】由上的最值问题.
令当当 8．
设
【答案】
是,
的
对称，且
从而在区域D
上的最大值和最小值.
=0.再考虑边界, 且f （0, 0）得稳定点为（0, 0）, 则
或或
即即
或时, z=f （x , y ）取最大值或
时, z 取最小值
.
;
将其与f （0, 0） =0进行比较知, 所求函数的最大值为, 最小值为求
.