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一、证明题

1． 设

证明对于这样的当

故

2． 证明:函数

（a 、b 为常数）满足热传导方程:

【答案】因为

所以

3． 设f （x ）在[a, b]上二阶连续可导, 证明:

【答案】记

. 取

, 由微分中值定理, 有

t

即

于是

, 有

对上式两边, 分别关于x 1和x 2

在

和

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所以对任给

的

时,

, 存

在

使得

当

因此

时

【答案】因

为

上积分, 可得

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即

进而有

这就是所谓的内插不等式.

4． 证明:

设

在

内收敛, 若

也收敛, 则

（注意:这里不管

在

x=R是否收敛）, 应用这个结果证明:

【答案】因

在

内收敛

, 所以有

又x=R时,

级数

收敛, 从而由定理知

的和函数在x=R处左连续, 从而

又因为

在

内收敛, 且级数

收敛, 所以

二、解答题

5． 研究函数

的连续性, 其中f （x ）在闭区间[0, 1]上是正的连续函数. 【答案】当

时被积函数是连续的

, 因此F （

y ）为连续函数. 当y=0时有F （0） =0.设m 为

而

所以F （y ）在点y=0不连续.

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页

f （x ）在[0, 1]上的最小值, 则m>0.于是当y>0时,

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6． 讨论下列瑕积分的收敛性:

（1） （3） （5）

, 故积分

收敛.

,

（2） （4）

【答案】 （1）x=0是瑕点（2）由于故积分

_收敛.

, 故x=l不是瑕点.x=0为惟一瑕点. 因

（3）x=l为瑕点（4）x=0为瑕点. 当（5）知 7． 求

.

收敛, 从而可知时, 积分发散.

, 此时p=l, . 故积分, 这里

, 故当收敛. 又由

发散. 时, 积分收敛;

,

由收敛.

知

【答案】由分部积分可得

令

则

, 所以

故得

8． 设f （x ）是周期为

【答案】设

由条件知由费耶定理，知,

，利用极限的性质，得一致收敛于f （x ）所以，

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的连续函数，且其傅里叶级数处处收敛，

求证这个傅里叶级数处处收敛到f （x ）.