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一、证明题

1． 设f （X ）, g （x ）为（a , b ）上的凹函数, 求证:

也是（a , b ）上的凹函数 【答案】设

, 则

, 有

,

,

由此推出

由凹函数定义, 即知h （X ）是（a , b ）上的凹函数.

2． 证明:（1）若函数f （X ）, g （x ）连续, 则函数

也连续;

（2）设

令函数f 的值f （x ）等于三值证明:f 在[a, b]上连续; （3）令

f （X ）为实函数.

证明:f （X ）连续的充要条件是【答案】（1）因为

又因为函数f （x ）, g （x ）连续, 所以

.

也连

续.

（2）由题意知,

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,

在[a, b]上连续,

中介于其他二值之间的那个值.

对任意固定的n , 都是X 的连续函数.

也连续,

由连续函数的运算性质知

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由（1

）的结论得

（3）

由连续函数的运算性质, 即知它们都连续.

3． 设级数

【答案】设

收敛于A （有限数）. 证明：

，则有

，

故有

.

，所以

.

:连续, 并且已知

在[a, b]上连续, 故由连续函数的运算性质知f （x ）在

[a, b]上连续.

二、解答题

4． 设函数

（m 为正整数）, 试问:

（1） m 等于何值时, f 在x=0连续； （2） m 等于何值时, f 在x=0可导. 【答案】（1）当（2）当

5． 设

时,

存在连续的导函数, 有

时,

, 故当m 为正整数时, f 在x=0连续. , 当

不存在, 故当正整数

试求:

【答案】作球坐标变换

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, 即

m>1时, 时, f 在

可导.

;

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则

于是有

6． 试作一函数

使当

时,

（1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；

（4）重极限与一个累次极限存在, 另一个累次极限不存在. 【答案】（1）函数

满足

因为

故（2）函数同理

不存在，

满足

也不存在. 但是

（3）函数因为在（4）函数

满足当满足

时，重极限和两个累次极限都不存在，

不存在但是

时，sinx 的值在﹣1与1之间振荡，同理，siny 也是一样的.

不存在.

7． 设a , b为给定实数. 试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解:

（1）（2）（3）

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